Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )): f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: a) a=b=1;
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo (-\pi,\pi)\), a função
\[f(x)= \begin{cases} a\,x, & -\pi<x\le0,\\\ b\,x, & 0\le x<\pi, \end{cases}
de modo a determinar os coeficientes da série, a soma nos pontos de descontinuidade e nos extremos x=-\pi,\pi\], e representar graficamente a função e a soma periódica. Vamos usar as fórmulas clássicas de série de Fourier para funções de período \(2\pi:
A soma nos extremos \pm\pi vale zero, a média de \pi e -\pi.
Passo 8
Gráfico da função original: reta de coeficiente a para x<0 e reta de coeficiente b para x>0, repetida periodicamente de período 2\pi. Gráfico da soma da série: coincide com f(x) em (-\pi,\pi) e assume o valor médio \tfrac{\pi(b-a)}{2} nos pontos x=k\pi. No caso a=b=1 o gráfico é o famoso dente de serra que sobe linearmente de -\pi a \pi e salta para -\pi, repetindo-se.
com soma 0 em x=\pm\pi.
Os gráficos são o traçado em retas de f(x) no intervalo (-\pi,\pi) e o traçado periódico da soma da série, com descontinuidades nos múltiplos de \pi.
Cálculo - B.Demidovitch - Problemas e Exercícios de Análise Matemática - Vol 1 - 6ª Edição - Capítulo 8.4 - Ex. 2672.a