Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: a) a=b=1;

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier, no intervalo (-\pi,\pi)\), a função \[f(x)= \begin{cases} a\,x, & -\pi<x\le0,\\\ b\,x, & 0\le x<\pi, \end{cases}
de modo a determinar os coeficientes da série, a soma nos pontos de descontinuidade e nos extremos x=-\pi,\pi\], e representar graficamente a função e a soma periódica. Vamos usar as fórmulas clássicas de série de Fourier para funções de período \(2\pi:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\,x\,dx+\int_{0}^{\pi}b\,x\,dx\Bigr) =\frac{1}{\pi}\Bigl[a\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{-\pi}^{0}+b\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{\pi}\Bigr] =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{a\pi^2}{2}+\frac{b\pi^2}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{2}(b-a).

Passo 3

Calcular a_n com integração por partes em cada trecho:
a_n=\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}a\,x\cos(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}b\,x\cos(nx)\,dx\Bigr).
Ao aplicar \int x\cos(nx)dx=x\frac{\sin(nx)}{n}-\frac{1}{n}\int\sin(nx)dx e avaliar nos extremos, chega-se a
a_n=\frac{a-b}{\pi\,n^2}\bigl[1-(-1)^n\bigr].
Isto implica a_n=0 para n par e a_n=\dfrac{2(a-b)}{\pi\,n^2} para n ímpar.

Passo 4

Calcular b_n também por partes usando \int x\sin(nx)dx=-x\frac{\cos(nx)}{n}+\frac{1}{n}\int\cos(nx)dx. O resultado é
b_n=-\frac{(a+b)(-1)^n}{n} =\frac{(a+b)(-1)^{\,n+1}}{n},
válido para todo n\ge1.

Passo 5

A série de Fourier completa é
f(x)\sim \frac{a_0}{2} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr] =\frac{\pi(b-a)}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\frac{2(a-b)}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+b)(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

Passo 6

Nos pontos de descontinuidade e nos extremos a série converge para o valor médio dos limites lateral esquerdo e direito:
  • Em x=0: f(0^-)=a\cdot0=0, f(0^+)=b\cdot0=0, soma =0.
  • Em x=\pi: f(\pi^-)=b\pi, f(-\pi^+)=a(-\pi)=-a\pi, soma =\frac{b\pi-a\pi}{2}=\frac{\pi(b-a)}{2}.
    O mesmo valor aparece em x=-\pi por periodicidade.

Passo 7

Caso particular a=b=1:
f(x)=x\quad(-\pi<x<\pi),
que é ímpar e contínua em (-\pi,\pi). Os coeficientes tornam-se
a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}{n},
logo a série é a clássica “sawtooth”
x\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
A soma nos extremos \pm\pi vale zero, a média de \pi e -\pi.

Passo 8

Gráfico da função original: reta de coeficiente a para x<0 e reta de coeficiente b para x>0, repetida periodicamente de período 2\pi. Gráfico da soma da série: coincide com f(x) em (-\pi,\pi) e assume o valor médio \tfrac{\pi(b-a)}{2} nos pontos x=k\pi. No caso a=b=1 o gráfico é o famoso dente de serra que sobe linearmente de -\pi a \pi e salta para -\pi, repetindo-se.

Resposta

A série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} a\,x,&-\pi<x\le0,\\\ b\,x,&0\le x<\pi \end{cases}
é
f(x)\sim\frac{\pi(b-a)}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\,\text{ímpar}}}^{\infty}\frac{2(a-b)}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+b)(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Nos extremos x=\pm\pi a soma vale \tfrac{\pi(b-a)}{2}, em x=0 vale 0.
Para a=b=1 obtemos
x\sim\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx),
com soma 0 em x=\pm\pi.
Os gráficos são o traçado em retas de f(x) no intervalo (-\pi,\pi) e o traçado periódico da soma da série, com descontinuidades nos múltiplos de \pi.