Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(a, b) \mid a e b têm os mesmos pais \}\

Passo 1

O enunciado apresenta a única relação
R = \{(a,b)\mid a\text{ e }b\text{ têm os mesmos pais}\}ê
e pede para verificar quais relações são de equivalência e, para as que não forem, indicar quais propriedades faltam. Para ser relação de equivalência, uma relação deve ser reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Verificamos a reflexividade: toda pessoa a tem exatamente os mesmos pais que ela própria, logo
(a,a)\in R\quad\forall a.
Portanto, R é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria: se (a,b)\in R, então a e b têm os mesmos pais; isso implica que b e a também têm os mesmos pais, ou seja, (b,a)\in R. Logo, R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade: se (a,b)\in R e (b,c)\in R, então a e b compartilham os mesmos pais e b e c compartilham os mesmos pais; assim, a e c têm também os mesmos pais, ou seja, (a,c)\in R. Logo, R é transitiva.

Passo 5

Como R satisfaz reflexividade, simetria e transitividade, concluímos que é uma relação de equivalência. Não há outras relações fornecidas no enunciado para análise, portanto não há outras propriedades faltantes a indicar.

Resposta

A relação “ter os mesmos pais” é de equivalência (cumpre reflexividade, simetria e transitividade).