Quais destas relações no conjunto de todas as pessoas são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
e
têm os mesmos pais
Passo 1
O enunciado apresenta a única relação
e pede para verificar quais relações são de equivalência e, para as que não forem, indicar quais propriedades faltam. Para ser relação de equivalência, uma relação deve ser reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Verificamos a reflexividade: toda pessoa
tem exatamente os mesmos pais que ela própria, logo
Portanto,
é reflexiva.
Passo 3
Verificamos a simetria: se
, então
e
têm os mesmos pais; isso implica que
e
também têm os mesmos pais, ou seja,
. Logo,
é simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade: se
e
, então
e
compartilham os mesmos pais e
e
compartilham os mesmos pais; assim,
e
têm também os mesmos pais, ou seja,
. Logo,
é transitiva.
Passo 5
Como
satisfaz reflexividade, simetria e transitividade, concluímos que é uma relação de equivalência. Não há outras relações fornecidas no enunciado para análise, portanto não há outras propriedades faltantes a indicar.
Resposta
A relação “ter os mesmos pais” é de equivalência (cumpre reflexividade, simetria e transitividade).