Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
67xy seja divisível por 5 e por 11 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os dígitos x e y tais que o número de quatro algarismos
67xy
seja divisível simultaneamente por 5 e por 11. Vamos usar aqui os testes de divisibilidade por 5 e por 11.

Passo 2

Divisibilidade por 5: um inteiro é divisível por 5 se, e somente se, seu último dígito for 0 ou 5.
Logo,
y in 0,5

Passo 3

Divisibilidade por 11: para um número de quatro dígitos d4d3d2d1, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares deve ser múltipla de 11.
(d1 + d3) - (d2 + d4) equiv 0 pmod11
No nosso caso, d4=6, d3=7, d2=x e d1=y. Substituindo, temos
(y + 7) - (x + 6) ;=; y - x + 1 ;equiv;0pmod11
Como y-x+1 varia de -8 a 10, a única forma de ser múltiplo de 11 é
y - x + 1 = 0 Longrightarrow y = x - 1

Passo 4

Agora combinamos as duas condições:
  1. y = x - 1.
  2. y in 0,5.
Se y=0 então x=1.
Se y=5 então x=6.
Ambos dão dígitos válidos de 0 a 9 e geram números que passam nos dois testes.

Resposta

x=1,;y=0 ou x=6,;y=5