Determinar a área da figura delimitada pelas curvas y^2=9 x, y=3 x. Resp. 12.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y^2=9x e pela reta y=3x.
Conteúdo: cálculo de área entre duas curvas via integração.
Estratégia:
  1. Encontrar os pontos de interseção.
  2. Expressar x como função de y em cada curva.
  3. Determinar qual é o limite à direita e qual à esquerda entre as duas curvas.
  4. Integrar horizontalmente em relação a y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, substituímos x da reta na parábola:
y^2 = 9 cdot y3
Isso dá
y^2 = 3y Longrightarrow y,(y-3)=0 Longrightarrow y=0 ou y=3
Substituindo em x=tfracy3, os pontos são (0,0) e l(1,3r).

Passo 3

Isolamos x em função de y:
– Na parábola:
x = y^29
– Na reta:
x = y3
Para 0<= y<=3, temos
y3>=y^29 Long<=ftrightarrow 3y>= y^2 Long<=ftrightarrow y(3-y)>=0,
logo a reta está à direita e a parábola à esquerda.

Passo 4

A área é
A = integraly=0^y=3l(xreta - xparábolar),dy = integral0^3l(y3 - y^29r),dy á

Passo 5

Calculando a integral:
integral y3,dy = y^26, integral y^29,dy = y^327,
portanto
A = [y^26 - y^327]0^3 = 96 - 2727 = 32 - 1 = 12

Resposta

12