Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferenciais sujeitas às condições iniciais dadas.
d yd x-3 y=e^2 x ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
d yd x - 3y = e^2x
com a condição inicial y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução particular que satisfaz essa condição.

Passo 2

Calcular o fator integrante mu(x), dado por
mu(x) = expl(integral -3,dxr) = e^-3x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x):
e^-3xd yd x - 3e^-3xy = e^-3x,e^2x = e^-x
O lado esquerdo é a derivada de y,e^-3x, pois
dd xl(y,e^-3xr) = e^-3xd yd x + ydd xl(e^-3xr) = e^-3xd yd x - 3e^-3xy
Logo,
dd xl(y,e^-3xr) = e^-x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-3x = integral e^-x,dx = -e^-x + C,
onde C é constante de integração. Despejando y:
y = l(-e^-x + Cr)e^3x = -e^2x + C,e^3x

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=2:
y(0) = -e^0 + C,e^0 = -1 + C = 2 Longrightarrow C = 3
Substituindo C na solução geral, obtemos
y(x) = -e^2x + 3,e^3x

Resposta

y(x) = -e^2x + 3e^3x