Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
y^prime prime+y=10 e^2 x ; y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 10e^2x
e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0.
O conteúdo aqui é resolver EDOs não homogêneas: primeiro achamos a solução da homogênea (complementar) e depois uma solução particular, e só então usamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
y'' + y = 0
montamos o polinômio característico r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo a solução complementar é
yc(x)=Acos x + Bsin x

Passo 3

Para a solução particular tentamos o ansatz
yp(x)=C,e^2x
Então
yp'(x)=2C,e^2x, yp''(x)=4C,e^2x
Substituindo em y''+y=10e^2x
(4C + C)e^2x=5C,e^2x=10e^2xLongrightarrow C=2
Logo
yp(x)=2e^2x

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(x)=yc(x)+yp(x)=Acos x + Bsin x + 2e^2x

Passo 5

Usamos as condições iniciais para determinar A e B. Em x=0:
y(0)=Acdot1 + Bcdot0 + 2cdot1 = A+2 = 0Longrightarrow A=-2
Agora a derivada geral é
y'(x)=-Asin x + Bcos x + 4e^2x,
em x=0:
y'(0)= -(-2)cdot0 + Bcdot1 + 4cdot1 = B + 4 = 0Longrightarrow B=-4

Resposta

y(x) = -2cos x ;-;4sin x ;+;2e^2x