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Determine os ângulos (em radianos) de um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento 7 e um outro lado com comprimento 4.

Passo 1

Estamos com um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 7 e um dos catetos mede 4. Queremos encontrar os dois ângulos agudos em radianos. Para isso, vamos usar as definições de seno e o fato de que, num triângulo retângulo, a soma dos ângulos internos é \pi, e os agudos somam \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Denotemos por \alpha o ângulo oposto ao cateto de comprimento 4. Pela definição de seno,
\sin(\alpha)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} =\frac{4}{7}.
Logo,
\alpha = \arcsin\!\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr).

Passo 3

O outro ângulo agudo, que chamaremos de \beta, satisfaz
\alpha + \beta = \frac{\pi}{2},
pois são complementares. Portanto,
\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha =\frac{\pi}{2} - \arcsin\!\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr).

Passo 4

Se quisermos uma aproximação numérica em radianos, calculamos
\alpha \approx \arcsin(0,5714286)\approx 0,607\quad\text{rad},
\beta \approx \frac{\pi}{2} - 0,607\approx 0,964\quad\text{rad}.

Resposta

\displaystyle \alpha = \arcsin\!\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)\approx 0,607\\ \text{rad},
\displaystyle \beta = \frac{\pi}{2} - \arcsin\!\Bigl(\frac{4}{7}\Bigr)\approx 0,964\\ \text{rad}.