Determine a área de uma calota esférica de 75 cm de altura de uma esfera de 70 cm de raio.

Passo 1

Temos uma esfera de raio R=70,cm e queremos a área da calota esférica de altura h=75,cm. O conteúdo aqui é geometria de superfícies e usaremos a fórmula da área de uma calota em função de R e h.

Passo 2

Uma forma de obter essa fórmula é usar coordenadas esféricas: ao varrer o polo até um ângulo theta0, a área do capuz vale
A ;=; integralphi=0^2pi!integraltheta=0^theta0 R^2sintheta,dtheta,dphi ;=;2pi R^2l[1-costheta0r]
Como a altura da calota é h=R(1-costheta0), temos costheta0=1-tfrachR. Substituindo,
A = 2pi R^2l(1-l(1-tfrachRr)r) =2pi R^2hR =2pi R,h

Passo 3

Agora basta substituir R=70,cm e h=75,cm na fórmula
A = 2pi R,h = 2pi times 70 times 75 = 10500pi

Resposta

A área da calota esférica é 10500pi cm^2.