17 Determine o comprimento de ambas as diagonais em um paralelogramo que tem dois lados de comprimento 4, dois lados de comprimento 7 e dois ângulos de 38^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo cujos lados adjacentes têm comprimentos a=4 e b=7, e o ângulo interno entre eles vale \theta=38^\circ. Queremos encontrar as duas diagonais, que correspondem aos vetores \vec a+\vec b e \vec a-\vec b. Para isso, vamos usar a lei dos cossenos em cada caso.

Passo 2

Para a diagonal maior d_1=|\vec a+\vec b|, aplicamos a lei dos cossenos ao triângulo formado por \vec a, \vec b e \vec a+\vec b:
d_1^2 = a^2 + b^2 + 2\,a\,b\cos\theta.

Passo 3

Substituindo a=4, b=7 e \theta=38^\circ:
d_1^2 = 4^2 + 7^2 + 2\cdot4\cdot7\cos(38^\circ) =16 + 49 + 56\cos(38^\circ).
Como \cos(38^\circ)\approx0,788, temos
d_1^2 \approx 65 + 56\cdot0,788 = 65 + 44,128 = 109,128,
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d_1 = \sqrt{109,128}\approx10,45.

Passo 4

Para a diagonal menor d_2=|\vec a-\vec b|, fazemos a lei dos cossenos no triângulo formado por \vec a, -\vec b e \vec a-\vec b:
d_2^2 = a^2 + b^2 - 2\,a\,b\cos\theta.
Substituindo os valores:
d_2^2 = 16 + 49 - 56\cos(38^\circ) \approx 65 - 44,128 = 20,872,
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d_2 = \sqrt{20,872}\approx4,57.

Resposta

As diagonais medem aproximadamente 10,45 e 4,57.