Determine uma equação para o círculo com centro no ponto (-2,1) e que passa pelo ponto (1,3). O ponto (1,1 ; 2,8) está dentro, fora ou sobre o círculo?

Passo 1

O enunciado pede a equação do círculo de centro em (-2,1) que passa por (1,3) e, em seguida, quer saber se o ponto (1,1;2,8) está dentro, fora ou sobre esse círculo. O conteúdo envolvido é a geometria analítica de círculos no plano, em particular usar a fórmula da distância para encontrar o raio e depois comparar distâncias para classificar a posição de um ponto.

Passo 2

Calcular o raio r como a distância de C(-2,1) a A(1,3). Usamos
r^2 = (1 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13,
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r = \sqrt{13}.

Passo 3

Escrever a equação canônica do círculo de centro (x_0,y_0)=(-2,1) e raio \sqrt{13}:
(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 13,
ou seja
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13.

Passo 4

Determinar a posição do ponto B=(1,1;2,8) calculando a sua distância ao centro ao quadrado:
d^2 = (1,1 - (-2))^2 + (2,8 - 1)^2 = 3,1^2 + 1,8^2 = 9,61 + 3,24 = 12,85.
Como 12,85 < 13, temos d^2 < r^2.

Passo 5

Se a distância ao quadrado do ponto ao centro é menor que r^2, então o ponto está dentro do círculo.

Resposta

A equação do círculo é
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 13.
O ponto (1,1;2,8) está dentro do círculo.