50-51 Determine uma equação nas coordenadas
para a seção cônica que satisfaça as condições dadas.
Parábola com vértice na origem, foco sobre o eixo
e diretriz passando no ponto
.
Parábola com vértice na origem, foco sobre o eixo
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a equação em
de uma parábola com vértice em
, foco sobre o eixo
e diretriz que passe pelo ponto
. O conteúdo é Seções Cônicas, usando a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta-diretriz.
Passo 2
Como o foco está sobre o eixo
e o vértice em
, o eixo de simetria da parábola é o próprio eixo
. A diretriz, sendo perpendicular a esse eixo, é uma reta horizontal de equação
. Como precisa passar por
, temos
e, portanto, a diretriz é
Passo 3
O vértice fica exatamente no ponto médio, em
, entre o foco
e a reta
. Como o vértice tem coordenada
, impomos
Logo o foco é
Passo 4
Pela definição de parábola, para um ponto qualquer
vale
ou seja,
Elevando ao quadrado e simplificando:
Resposta
A equação da parábola é