50-51 Determine uma equação nas coordenadas x y para a seção cônica que satisfaça as condições dadas.
Parábola com vértice na origem, foco sobre o eixo y e diretriz passando no ponto (7,4).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação em x,y de uma parábola com vértice em (0,0), foco sobre o eixo y e diretriz que passe pelo ponto (7,4). O conteúdo é Seções Cônicas, usando a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta-diretriz.

Passo 2

Como o foco está sobre o eixo y e o vértice em (0,0), o eixo de simetria da parábola é o próprio eixo y. A diretriz, sendo perpendicular a esse eixo, é uma reta horizontal de equação y=k. Como precisa passar por (7,4), temos k=4 e, portanto, a diretriz é y=4.

Passo 3

O vértice fica exatamente no ponto médio, em y, entre o foco (0,p) e a reta y=4. Como o vértice tem coordenada y=0, impomos
\frac{p + 4}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad p = -4.
Logo o foco é
(0,-4).

Passo 4

Pela definição de parábola, para um ponto qualquer (x,y) vale
\text{dist}\big((x,y),(0,-4)\big)\;=\;\text{dist}\big((x,y),\,y=4\big),
ou seja,
\sqrt{x^2 + (y+4)^2} \;=\; |y - 4|.
Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2 + (y+4)^2 = (y-4)^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 16y = 0.

Resposta

A equação da parábola é
x^2 + 16y = 0.