Determine a equação da elipse:
com focos em (0, pm 4) e eixo menor de comprimento 12;

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com focos em (0,pm4) e eixo menor de comprimento 12. Aqui estamos em Geometria Analítica de cônicas, e vamos usar as relações clássicas para elipse centrada na origem:
  • Se o eixo maior é vertical (focos no eixo y), a forma padrão é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
com a>b>0.
  • A distância focal satisfaz
c^2 = a^2 - b^2,
onde c é a abscissa (ou ordenada) de um dos focos.

Passo 2

Do eixo menor de comprimento 12 tiramos
2b = 12 Longrightarrow b = 6

Passo 3

Dos focos em (0,pm4) identificamos
c = 4

Passo 4

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, temos
4^2 = a^2 - 6^2 Longrightarrow 16 = a^2 - 36 Longrightarrow a^2 = 52

Passo 5

Como o eixo maior é vertical (focos no eixo y), a equação da elipse é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1,
substituindo b^2 = 36 e a^2 = 52:

Resposta

x^236 + y^252 = 1