47 Determine a fórmula para o comprimento de um arco de circunferência correspondente a \theta radianos em uma circunferência de raio r.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do comprimento de um arco de circunferência de raio r que subtende um ângulo de \theta radianos. O conteúdo aqui é geometria de círculo e proporção de ângulos.

Passo 2

Sabemos que a circunferência completa de raio r tem comprimento
C = 2\pi r.
Nesse caso, o ângulo total de uma volta é 2\pi radianos.

Passo 3

Seja s o comprimento do arco correspondente a \theta radianos. Pela proporcionalidade de ângulos temos
\frac{s}{C} \;=\;\frac{\theta}{2\pi}.
Substituindo C=2\pi r e simplificando dá
s = \frac{\theta}{2\pi}\cdot(2\pi r) = r\,\theta.

Resposta

s = r\,\theta.