Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
f(x)=x^{4}-4 x^{3}+10 x-9

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-4x^{3}+10x-9
e pede (1) em que intervalos a concavidade é para cima ou para baixo e (2) os pontos de inflexão.
Para isso vamos usar o teste da segunda derivada:
– se f''(x)>0, a concavidade é para cima;
– se f''(x)<0, a concavidade é para baixo;
– ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 e há troca de sinal de f''.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-4x^{3}+10x-9\bigr) =4x^{3}-12x^{2}+10,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-12x^{2}+10\bigr) =12x^{2}-24x =12x(x-2).

Passo 3

Determinar onde f''(x)=0:
12x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2.

Passo 4

Analisar o sinal de f''(x)=12x(x-2) nos intervalos definidos por 0 e 2:
– Para x<0: temos x<0 e x-2<0, logo f''(x)>0.
– Para 0<x<2: temos x>0 e x-2<0, logo f''(x)<0.
– Para x>2: temos x>0 e x-2>0, logo f''(x)>0.

Passo 5

Como f'' muda de sinal em x=0 e x=2, são pontos de inflexão. Calculamos f nesses pontos:
f(0)=0^{4}-4\cdot0^{3}+10\cdot0-9=-9,
f(2)=2^{4}-4\cdot2^{3}+10\cdot2-9 =16-32+20-9=-5.

Resposta

A concavidade é para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty) e para baixo em (0,2).
Os pontos de inflexão são (0,-9) e (2,-5).