Determine em que intervalo(s) a concavidade da função é para cima e em que intervalo(s) a concavidade é baixo. Determine também as coordenadas de todos os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (1) em que intervalos a concavidade é para cima ou para baixo e (2) os pontos de inflexão.
Para isso vamos usar o teste da segunda derivada:
– se , a concavidade é para cima;
– se , a concavidade é para baixo;
– ponto de inflexão ocorre onde e há troca de sinal de
.
Para isso vamos usar o teste da segunda derivada:
– se
– se
– ponto de inflexão ocorre onde
Passo 2
Calcular a primeira e a segunda derivadas:
Passo 3
Determinar onde
:
Passo 4
Analisar o sinal de
nos intervalos definidos por
e
:
– Para : temos
e
, logo
.
– Para : temos
e
, logo
.
– Para : temos
e
, logo
.
– Para
– Para
– Para
Passo 5
Como
muda de sinal em
e
, são pontos de inflexão. Calculamos
nesses pontos:
Resposta
A concavidade é para cima em
e para baixo em
.
Os pontos de inflexão são e
.
Os pontos de inflexão são