Determine a localização e o tipo das singularidades das seguintes funções no plano finito e no infinito. No caso de pólos, diga também qual é a ordem.
\tan ^{2} \pi z

Passo 1

O enunciado pede para classificar as singularidades de \tan^{2}(\pi z) no plano finito e em z=\infty. Vamos usar que \tan(\pi z)=\dfrac{\sin(\pi z)}{\cos(\pi z)} e que as singularidades surgem quando o denominador se anula. Também empregaremos o conceito de pólo (ordem) e de singularidade em z=\infty.

Passo 2

Identificamos as raízes de \cos(\pi z)=0. Como
\cos(\pi z)=0\iff \pi z = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
segue
z = \frac12 + k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em cada z_{0}=\tfrac12+k, \cos(\pi z) tem zero simples (pois \sin(\pi z_{0})=\pm1\neq0), logo \tan(\pi z) tem pólo simples em z_{0}.

Passo 3

Como \tan^{2}(\pi z)=[\tan(\pi z)]^{2}, a singularidade simples de \tan(\pi z) em z_{0} torna-se um pólo de ordem 2 em \tan^{2}(\pi z). Não há outras singularidades finitas.

Passo 4

Para estudar z=\infty fazemos w=1/z e consideramos
\tan^{2}\bigl(\pi\,\tfrac{1}{w}\bigr).
Como \tan(\pi/w) oscila e possui acúmulo infinito de pólos quando w\to0, w=0 é uma singularidade essencial. Assim, z=\infty é singularidade essencial de \tan^{2}(\pi z).

Resposta

Singularidades finitas em
z = \frac12 + k,\quad k\in\mathbb{Z},
são pólos de ordem 2.
Em z=\infty ocorre uma singularidade essencial.