Determine o menor valor da expressão (12)^4 x-x^2.

Passo 1

O enunciado nos pede o menor valor de
f(x)=l(tfrac12r)^4x - x^2.
O conteúdo aqui é otimização de função envolvendo uma potência cuja base é menor que 1 e a maximização de um polinômio quadrático.

Passo 2

Note que a base tfrac12 é menor que 1, então a função
l(tfrac12r)^y
é decrescente em y. Logo, para minimizar f(x) basta maximizar o expoente
;g(x)=4x - x^2.

Passo 3

O polinômio
g(x)=-x^2+4x
é uma parábola voltada para baixo. Sua abscissa do vértice é dada por
xv = -b2a
aplicando a=-1 e b=4, temos
xv = -42cdot(-1) = 2
Nesse ponto
;g(2)=4cdot2 - 2^2=8-4=4,
que é o valor máximo de g(x).

Passo 4

Como g(x) atinge o máximo 4 em x=2, o menor valor de f(x) será
fmin = l(tfrac12r)^4 = tfrac116

Resposta

tfrac116