Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
5 x^2+25 x+10 y^2-5=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza da curva dada por
5x^2 + 25x + 10y^2 - 5 = 0
Este é um caso clássico de classificação de cônicas (elipse, hipérbole ou parábola). Vamos completar o quadrado no termo em e reescrever na forma padrão.

Passo 2

Agrupando termos e completando o quadrado em 5x^2 + 25x + 10y^2 - 5 = 5l(x^2 + 5xr) + 10y^2 - 5 :
x^2 + 5x = l(x + tfrac52r)^2 - l(tfrac52r)^2,
Como
5l(l(x + tfrac52r)^2 - tfrac254r) + 10y^2 - 5 = 0
substituímos e obtemos

Passo 3

Distribuindo e combinando constantes:
5l(x + tfrac52r)^2 - 5cdottfrac254 + 10y^2 - 5 = 0 ;Longrightarrow; 5l(x + tfrac52r)^2 + 10y^2 - tfrac1254 - 5 = 0,
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5l(x + tfrac52r)^2 + 10y^2 = tfrac1454 ;Longrightarrow; 20l(x + tfrac52r)^2 + 40y^2 = 145
Dividindo ambos os lados por l(x + tfrac52r)^2tfrac14520 +y^2tfrac14540=1 ;Longrightarrow; l(x + tfrac52r)^229/4 +y^229/8=1 :

Passo 4

Na forma
(x + tfrac52)^2(raiz29/2)^2 +y^2(raiz29/(2raiz2))^2=1
ambos os termos são positivos e somam 1, o que caracteriza uma elipse com centro em .

Resposta

A curva é uma elipse de centro em .