Determine o número que é excedido pela sua raiz quadrada o máximo possível.

Passo 1

O enunciado pede encontrar o valor de x\ge0 para o qual a diferença entre a raiz quadrada de x e o próprio x é máxima. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivadas para achar extremos.

Passo 2

Definimos a função que mede o “excedente” da raiz sobre o número:
g(x)=\sqrt{x}-x.

Passo 3

Analisamos o domínio e o sinal de g. Como \sqrt{x} está definida para x\ge0, temos domínio [0,\infty). Note que para x\ge1 vale \sqrt{x}\le x, logo g(x)\le0. Para x\in[0,1], g(x)\ge0. Assim o máximo de g ocorre em [0,1].

Passo 4

Para achar extremos em (0,1), calculamos a derivada de g:
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.
Impondo g'(x)=0 obtemos a condição
\frac{1}{2\sqrt{x}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac14.

Passo 5

Verificamos que em x=\tfrac14 temos de fato um máximo. A segunda derivada é
g''(x)=-\frac{1}{4\,x^{3/2}}<0\quad(\forall x>0),
o que garante que g tem máximo local em x=\tfrac14. Comparando ainda com as extremidades do intervalo:
g(0)=0,\quad g(1)=0,\quad g\bigl(\tfrac14\bigr)=\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14,
e concluímos que o maior valor de g em [0,1] ocorre de fato em x=\tfrac14.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{4}