Determine o número que é excedido pela sua raiz quadrada o máximo possível.
Passo 1
O enunciado pede encontrar o valor de
para o qual a diferença entre a raiz quadrada de
e o próprio
é máxima. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivadas para achar extremos.
Passo 2
Definimos a função que mede o “excedente” da raiz sobre o número:
Passo 3
Analisamos o domínio e o sinal de
. Como
está definida para
, temos domínio
. Note que para
vale
, logo
. Para
,
. Assim o máximo de
ocorre em
.
Passo 4
Para achar extremos em
, calculamos a derivada de
:
Impondo
obtemos a condição
Passo 5
Verificamos que em
temos de fato um máximo. A segunda derivada é
o que garante que
tem máximo local em
. Comparando ainda com as extremidades do intervalo:
e concluímos que o maior valor de
em
ocorre de fato em
.