Determine o número de funções impares f : A \rightarrow A, com A=\{-3,-2,-1,0,1,2, 3}, que podem ser formadas.
a) 6^{4}
b) 7^{3}
c) \binom{7}{3}
d) 3!\binom{7}{3}
e) 3^{7}\binom{7}{4}

Passo 1

O enunciado pede o número de funções ímpares f\colon A \to A com A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}. O conteúdo é a definição de função ímpar: para todo x em A vale
f(-x) = -f(x).
Para resolver, vamos usar as consequências dessa condição na contagem de funções.

Passo 2

Da condição ímpar, tomando x=0 obtemos
f(0) = -f(0) \implies f(0)=0.
Logo a imagem de 0 está fixa em 0.

Passo 3

Os elementos restantes do domínio formam pares \pm1,\pm2,\pm3. Para cada x>0 em \{1,2,3\}, podemos escolher livremente f(x) em A, pois depois vem
f(-x)=-f(x)
automaticamente.

Passo 4

O número de escolhas para cada x\in\{1,2,3\} é \lvert A\rvert=7. Como são três valores positivos, o total de funções ímpares é
7 \times 7 \times 7 = 7^{3}.

Resposta

7^{3} (alternativa (b))