Determine o número positivo tal que a diferença entre ele e seu quadrado seja a maior possível. Por que você pode esperar que esse número esteja no intervalo aberto
?
Passo 1
O enunciado pede para achar o número positivo
que torna máxima a diferença entre ele e seu quadrado, isto é, que maximiza a função
usando cálculo de máximos de funções (derivadas).
Passo 2
Antes de derivar, note que
Como
, o produto
só é positivo se
, isto é, se
. Para
ou
temos
. Logo, o ponto de máximo positivo de
deve ocorrer no intervalo aberto
.
Passo 3
Calculemos a derivada de
e igualemos a zero para achar pontos críticos:
Impondo
dá
Passo 4
Verificamos que este ponto é de máximo pelo sinal da segunda derivada:
o que garante que
é um ponto de máximo local. Como não há outro ponto crítico em
, é o máximo global neste intervalo.
Resposta
O número positivo que maximiza a diferença entre ele e seu quadrado é
.