Determine o número positivo tal que a diferença entre ele e seu quadrado seja a maior possível. Por que você pode esperar que esse número esteja no intervalo aberto 0,1 ?

Passo 1

O enunciado pede para achar o número positivo x que torna máxima a diferença entre ele e seu quadrado, isto é, que maximiza a função
f(x)=x - x^2,
usando cálculo de máximos de funções (derivadas).

Passo 2

Antes de derivar, note que
f(x)=x - x^2 = x(1 - x)
Como x>0, o produto x(1-x) só é positivo se 1-x>0, isto é, se x<1. Para x>=1 ou x<=0 temos f(x)<=0. Logo, o ponto de máximo positivo de f deve ocorrer no intervalo aberto (0,1).

Passo 3

Calculemos a derivada de f e igualemos a zero para achar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(x - x^2r)=1 - 2x
Impondo f'(x)=0
1 - 2x = 0 Longrightarrow x=12

Passo 4

Verificamos que este ponto é de máximo pelo sinal da segunda derivada:
f''(x)=ddx(1 - 2x)=-2<0 para todo x,
o que garante que x=tfrac12 é um ponto de máximo local. Como não há outro ponto crítico em (0,1), é o máximo global neste intervalo.

Resposta

O número positivo que maximiza a diferença entre ele e seu quadrado é tfrac12.