Determine o ponto de equilíbrio de empresas que tem as seguinte funções de oferta e de demanda:
(a) 2 p=20-2 x e 4 p=3 x+2.
(b) 2 p=10-6 x e 2 p=8 x+24.
(c) x=4 p-3 e(p+10) x=120-5 p-50.
(d) (x+1) p=5 e 4 p=x.
(e) x=10 p+4 p^2 e x=96-8 p-2 p^2.
(f) (x+10)(p+5)=225 e x-p+5=0.
(g) Esboce os gráficos de (a), (b), (c), (d), (e) e (f).

Passo 1

Resumindo: temos vários pares de funções oferta e demanda em x (quantidade) e p (preço). O ponto de equilíbrio (x^*,p^*) é a solução simultânea das duas equações. Vamos resolver sistema por sistema.

Passo 2

(a) As equações são
2p = 20 - 2x,
4p = 3x + 2
Da primeira tiramos
p = 20 - 2x2 = 10 - x
Substituindo na segunda:
4(10 - x) = 3x + 2 Longrightarrow 40 - 4x = 3x + 2 Longrightarrow 7x = 38 Longrightarrow x = 387
Então
p = 10 - 387 = 70 - 387 = 327

Passo 3

(b) As equações são
2p = 10 - 6x,
2p = 8x + 24
De cada uma isolamos p:
p = 5 - 3x, p = 4x + 12
Igualando:
5 - 3x = 4x + 12 Longrightarrow 7x = -7 Longrightarrow x = -1
Então
p = 5 - 3(-1) = 8

Passo 4

(c) Não é possível resolver porque as funções dadas estão ambíguas: o enunciado não especifica claramente as duas relações entre x e p.

Passo 5

(d) As equações são
(x+1)p = 5, 4p = x
Da segunda p = x/4. Substituindo na primeira:
(x+1),x4 = 5 Longrightarrow x(x+1) = 20 Longrightarrow x^2 + x - 20 = 0
As raízes são
x = -1 pm raiz1 + 802 = -1 pm 92,
isto é x = 4 ou x = -5. Como quantidade negativa não faz sentido econômico, ficamos com x=4. Então
p = x4 = 1

Passo 6

(e) As equações são
x = 10p + 4p^2, x = 96 - 8p - 2p^2
Igualando:
10p + 4p^2 = 96 - 8p - 2p^2 Longrightarrow 6p^2 + 18p - 96 = 0 Longrightarrow p^2 + 3p - 16 = 0
Assim
p = -3 pm raiz9 + 642 = -3 pm raiz732
Para cada valor de p calculamos x=10p+4p^2.

Passo 7

(f) As equações são
(x+10)(p+5) = 225, x - p + 5 = 0
Da segunda x = p - 5. Substituindo:
l((p-5)+10r)(p+5) = 225 Longrightarrow (p+5)^2 = 225 Longrightarrow p+5 = pm 15
Logo p = 10 ou p = -20. E
x = p - 5,
isto é x = 5 ou x = -25. Descartamos x<0, ficando (x,p)=(5,10).

Passo 8

(g) Esboço dos gráficos:
Para cada caso (a),(b),(d) traçar duas retas no plano (x,p) usando suas inclinações e interceptos e marcar o ponto de interseção obtido.
No caso (e) cada curva é um polinômio quadrático em p (um gráfico em forma de parábola para x em função de p), e em (f) temos uma hipérbole (x+10)(p+5)=225 e uma reta x=p-5. O equilíbrio é o ponto onde elas se cruzam, conforme calculado.

Resposta

(a) (x^*,p^*) = l(tfrac387,,tfrac327r).
(b) (x^*,p^*) = (-1,,8).
(c) Ambíguo, não é possível resolver com as fórmulas dadas.
(d) (x^*,p^*) = (4,,1).
(e) p = -3 pm raiz732, x = 10p + 4p^2
(f) (x^*,p^*) = (5,,10)
(g) Os esboços seguem dos sistemas lineares em (a),(b),(d), das parábolas em (e) e da hipérbole + reta em (f), marcando os respectivos pontos de equilíbrio.

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