Determine o ponto de equilíbrio de empresas que tem as seguinte funções de oferta e de demanda:
(a) 2 p=20-2 x e 4 p=3 x+2.
(b) 2 p=10-6 x e 2 p=8 x+24.
© x=4 p-3 e(p+10) x=120-5 p-50.
(d) (x+1) p=5 e 4 p=x.
(e) x=10 p+4 p^2 e x=96-8 p-2 p^2.
(f) (x+10)(p+5)=225 e x-p+5=0.
(g) Esboce os gráficos de (a), (b), ©, (d), (e) e (f).

Passo 1

Resumindo: temos vários pares de funções oferta e demanda em (quantidade) e (preço). O ponto de equilíbrio é a solução simultânea das duas equações. Vamos resolver sistema por sistema.

Passo 2

(a) As equações são
2p = 20 - 2x,
4p = 3x + 2
Da primeira tiramos
p = 20 - 2x2 = 10 - x
Substituindo na segunda:
4(10 - x) = 3x + 2 Longrightarrow 40 - 4x = 3x + 2 Longrightarrow 7x = 38 Longrightarrow x = 387
Então
p = 10 - 387 = 70 - 387 = 327

Passo 3

(b) As equações são
2p = 10 - 6x,
2p = 8x + 24
De cada uma isolamos p = 5 - 3x, p = 4x + 12 :
5 - 3x = 4x + 12 Longrightarrow 7x = -7 Longrightarrow x = -1
Igualando:
p = 5 - 3(-1) = 8
Então

Passo 4

© Não é possível resolver porque as funções dadas estão ambíguas: o enunciado não especifica claramente as duas relações entre e .

Passo 5

(d) As equações são
(x+1)p = 5, 4p = x
Da segunda (x+1),x4 = 5 Longrightarrow x(x+1) = 20 Longrightarrow x^2 + x - 20 = 0 . Substituindo na primeira:
x = -1 pm raiz1 + 802 = -1 pm 92,
As raízes são
p = x4 = 1
isto é ou . Como quantidade negativa não faz sentido econômico, ficamos com . Então

Passo 6

(e) As equações são
x = 10p + 4p^2, x = 96 - 8p - 2p^2
Igualando:
10p + 4p^2 = 96 - 8p - 2p^2 Longrightarrow 6p^2 + 18p - 96 = 0 Longrightarrow p^2 + 3p - 16 = 0
Assim
p = -3 pm raiz9 + 642 = -3 pm raiz732
Para cada valor de calculamos .

Passo 7

(f) As equações são
(x+10)(p+5) = 225, x - p + 5 = 0
Da segunda l((p-5)+10r)(p+5) = 225 Longrightarrow (p+5)^2 = 225 Longrightarrow p+5 = pm 15 . Substituindo:
x = p - 5,
Logo ou . E
isto é ou . Descartamos , ficando .

Passo 8

(g) Esboço dos gráficos:
Para cada caso (a),(b),(d) traçar duas retas no plano usando suas inclinações e interceptos e marcar o ponto de interseção obtido.
No caso (e) cada curva é um polinômio quadrático em (um gráfico em forma de parábola para em função de ), e em (f) temos uma hipérbole e uma reta . O equilíbrio é o ponto onde elas se cruzam, conforme calculado.

Resposta

(a) .
(b) .
© Ambíguo, não é possível resolver com as fórmulas dadas.
(d) .
(e)
(f)
(g) Os esboços seguem dos sistemas lineares em (a),(b),(d), das parábolas em (e) e da hipérbole reta em (f), marcando os respectivos pontos de equilíbrio.