Determine os primeiros quatro \alpha_{i}>0 definidos por J_{1}(3 \alpha) =0.

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros valores positivos \alpha_i tais que
J_{1}(3\alpha_i)=0,
onde J_{1} é a função de Bessel de primeira espécie e ordem 1. Para resolver, vamos usar o fato de que se definirmos
\beta = 3\alpha,
então a condição passa a ser
J_{1}(\beta)=0,
e depois voltamos em \alpha=\beta/3.

Passo 2

Buscamos, então, os quatro primeiros zeros positivos de J_{1}(\beta). Esses valores são tabulados em livros de funções especiais ou podem ser obtidos numericamente (por exemplo, via método de Newton). Chamando-os de \beta_{1}<\beta_{2}<\beta_{3}<\beta_{4}, temos aproximadamente:
\beta_{1}\approx 3,83170597,\quad \beta_{2}\approx 7,01558667,\quad \beta_{3}\approx10,17346814,\quad \beta_{4}\approx13,32369194.

Passo 3

Voltando à variável original, usamos
\alpha_{i} = \frac{\beta_{i}}{3},
para cada i=1,2,3,4.

Passo 4

Fazendo a divisão por 3 em cada zero, obtemos
\alpha_{1}\approx \frac{3,83170597}{3} \approx 1,27723532,
\alpha_{2}\approx \frac{7,01558667}{3} \approx 2,33852889,
\alpha_{3}\approx \frac{10,17346814}{3} \approx 3,39115605,
\alpha_{4}\approx \frac{13,32369194}{3} \approx 4,44123065.

Resposta

\alpha_{1}\approx1,27723532,\quad \alpha_{2}\approx2,33852889,\quad \alpha_{3}\approx3,39115605,\quad \alpha_{4}\approx4,44123065