Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=3 a_{n-1}+4 a_{n-2}+5 a_{n-3}

Passo 1

O enunciado nos dá a relação de recorrência
a_{n} = 3\,a_{n-1} + 4\,a_{n-2} + 5\,a_{n-3}
e pede para verificar se é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, além de determinar seu grau. Para isso vamos usar as definições:
– Uma recorrência é linear se cada termo aparece apenas em primeira potência e não há produtos entre termos.
– É homogênea se não há termo independente de a_{k}.
– Tem coeficientes constantes se os multiplicadores de a_{n-i} não dependem de n.
– O grau é o maior valor de i para o qual aparece a_{n-i}.

Passo 2

Verificamos a linearidade escrevendo tudo em um único lado:
a_{n} - 3\,a_{n-1} - 4\,a_{n-2} - 5\,a_{n-3} = 0.
Vemos que cada termo a_{n-i} aparece apenas multiplicado por uma constante e sem produtos entre si. Logo, é linear.

Passo 3

Estamos diante de uma relação homogênea porque não existe termo isolado (função de n ou constante) do tipo +f(n) ou +C. Tudo se anula no lado direito quando passamos para zero.

Passo 4

Os coeficientes 3, 4 e 5 que multiplicam a_{n-1}, a_{n-2} e a_{n-3} são números fixos, ou seja, não dependem de n. Portanto, são constantes.

Passo 5

O grau da recorrência é o maior atraso entre índices, que aqui é 3, pois o último termo envolvido é a_{n-3}.

Resposta

A relação
a_{n} = 3\,a_{n-1} + 4\,a_{n-2} + 5\,a_{n-3}
é uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes de grau 3.