Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação de recorrência
e pede para verificar se é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, além de determinar seu grau. Para isso vamos usar as definições:
– Uma recorrência é linear se cada termo aparece apenas em primeira potência e não há produtos entre termos.
– É homogênea se não há termo independente de .
– Tem coeficientes constantes se os multiplicadores de não dependem de
.
– O grau é o maior valor de para o qual aparece
.
– Uma recorrência é linear se cada termo aparece apenas em primeira potência e não há produtos entre termos.
– É homogênea se não há termo independente de
– Tem coeficientes constantes se os multiplicadores de
– O grau é o maior valor de
Passo 2
Verificamos a linearidade escrevendo tudo em um único lado:
Vemos que cada termo
aparece apenas multiplicado por uma constante e sem produtos entre si. Logo, é linear.
Passo 3
Estamos diante de uma relação homogênea porque não existe termo isolado (função de
ou constante) do tipo
ou
. Tudo se anula no lado direito quando passamos para zero.
Passo 4
Os coeficientes
,
e
que multiplicam
,
e
são números fixos, ou seja, não dependem de
. Portanto, são constantes.
Passo 5
O grau da recorrência é o maior atraso entre índices, que aqui é
, pois o último termo envolvido é
.
Resposta
A relação
é uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes de grau
.