Determine todos os números t tais que \left(\frac{1}{3}, t\right) seja um ponto sobre a circunferência unitária.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de t tais que o ponto \bigl(\tfrac{1}{3},\,t\bigr) pertença à circunferência unitária no plano cartesiano. O conteúdo envolvido é geometria analítica, em particular a equação de uma circunferência de raio 1 e centro na origem, dada por
x^2 + y^2 = 1.

Passo 2

Para que \bigl(\tfrac{1}{3},\,t\bigr) esteja sobre essa circunferência, basta substituir x = \tfrac{1}{3} e y = t na equação x^2 + y^2 = 1. Isso dá
\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 + t^2 = 1
\tfrac{1}{9} + t^2 = 1
Isolando t^2, obtemos
t^2 = 1 - \tfrac{1}{9} = \tfrac{8}{9}.

Passo 3

Agora, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar t:
t = \pm \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \pm \tfrac{\sqrt{8}}{3} = \pm \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

t = \tfrac{2\sqrt{2}}{3} \quad\text{ou}\quad t = -\tfrac{2\sqrt{2}}{3}.