Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
15. f(x)=\frac{2}{3} x-5, \quad-2 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2}{3}x-5
no intervalo fechado [-2,3] e pede os extremos absolutos. Como f é contínua em um intervalo fechado, pelo Teorema de Weierstrass ela atinge mínimo e máximo em pontos críticos ou nas fronteiras.

Passo 2

Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
f'(x)=\frac{2}{3}.
Como f'(x)>0 para todo x, a função é estritamente crescente em [-2,3] e não há pontos críticos no interior.

Passo 3

Em função de ser crescente, o valor mínimo ocorre em x=-2 e o valor máximo em x=3. Agora avaliamos em cada extremo:
f(-2)=\frac{2}{3}\,(-2)-5=-\frac{4}{3}-5=-\frac{19}{3},
f(3)=\frac{2}{3}\cdot3-5=2-5=-3.

Passo 4

Portanto, o mínimo absoluto é
-\frac{19}{3}
ocorre em \bigl(-2,-\tfrac{19}{3}\bigr) e o máximo absoluto é
-3
ocorre em \bigl(3,-3\bigr).

Passo 5

O gráfico é uma reta de inclinação \tfrac23 que liga os pontos \bigl(-2,-\tfrac{19}{3}\bigr) e \bigl(3,-3\bigr). O ponto mais baixo no eixo y é o mínimo absoluto e o mais alto é o máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto: \bigl(-2,-\tfrac{19}{3}\bigr)
Máximo absoluto: \bigl(3,-3\bigr)