Determine o valor-verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais.
\exists x\left(x^{4}<x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum x\in\mathbb{R} tal que
x^{4}<x^{2}.
O conteúdo que vamos usar envolve quantificadores em lógica de predicados e resolução de inequações polinomiais.

Passo 2

Começamos transformando a desigualdade em algo mais manejável, subtraindo x^{2} dos dois lados:
x^{4}-x^{2}<0.

Passo 3

Fatoramos o lado esquerdo para analisar os sinais:
x^{4}-x^{2}=x^{2}\,(x^{2}-1).
Para que o produto seja negativo, um dos fatores deve ser positivo e o outro negativo. Como \;x^{2}\ge0\;sempre e x^{2}=0 só em x=0, a única forma de obter sinal negativo é ter
x^{2}>0 \quad\text{e}\quad x^{2}-1<0,
isto é,
0<x^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1<x<1\quad\text{com }x\neq0.

Passo 4

Vemos que todo x em (-1,0)\cup(0,1) satisfaz x^{4}<x^{2}. Como esses valores existem em \mathbb{R}, a proposição existencial \exists x\,(x^{4}<x^{2})
é satisfeita.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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