Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações, justificando sua resposta:
\frac{1}{5} \doteq 0,555 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fração \tfrac{1}{5} é igual ao decimal periódico 0,555\ldots. Vamos usar a conversão de frações para decimais e a soma de séries geométricas para comparar os valores.

Passo 2

Para encontrar a representação decimal de \tfrac{1}{5}, fazemos a divisão:
1\div 5 = 0{,}2
e, a partir daí, não há resto, então continuamos obtendo zeros:
\tfrac{1}{5} = 0{,}2000\ldots

Passo 3

Agora, vamos escrever 0,555\ldots como fração. Note que
0,555\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{10^n} = 5\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)^n
e como \sum_{n=1}^{\infty}r^n = \tfrac{r}{1-r} para |r|<1, temos
0,555\ldots = 5\cdot\frac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = 5\cdot\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{9}{10}} = \frac{5}{9}.

Passo 4

Comparando:
\tfrac{1}{5} = 0{,}2000\ldots \quad\text{e}\quad 0,555\ldots = \tfrac{5}{9},
vemos que \tfrac{1}{5} \neq \tfrac{5}{9}. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

F (falsa)