Deternine o número de permutações de n elementos distintos.
Solução:
Seja x_{n} o número de permutações com n elementos distintos. Para formar todas estas x_{n} permutações basta escrever as x_{n-1} permutações com n-1 elementos distintos e no final de cada uma delas acrescentar mais um elemento (n possibilidades). Logo, temos que x_{n}=n \cdot x_{n-1}.
Assim: x_{n}=n \cdot x_{n-1}=n(n-1) x_{n-2}=n(n-1)(n-2) x_{n-3}=\ldots=n(n-1)(n-2) \ldots 3.2 \times x_{1}. Uma vez que x_{1}=1, então $x_{n}=n!.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de n elementos distintos. O conteúdo envolve princípio fundamental da contagem e recorrência. Vamos definir uma sequência x_n que conte essas permutações e montar uma relação entre x_n e x_{n-1}.

Passo 2

Seja x_n o número de permutações de n elementos distintos. Para cada permutação de n-1 elementos há exatamente n posições onde inserir o novo elemento, portanto a recorrência é
x_n = n \cdot x_{n-1}.

Passo 3

Vamos expandir a recorrência até chegar na condição inicial:
x_n = n \cdot x_{n-1} = n (n-1)\,x_{n-2} = n (n-1)(n-2)\,\cdots\,2\,x_1.

Passo 4

Sabemos que x_1 = 1 (há exatamente uma permutação de um único elemento). Substituindo, obtemos
x_n = n (n-1)(n-2)\,\cdots\,2\cdot 1 = n!.

Resposta

n!