Deternine o número de permutações de
elementos distintos.
Solução:
Seja
o número de permutações com
elementos distintos. Para formar todas estas
permutações basta escrever as
permutações com
elementos distintos e no final de cada uma delas acrescentar mais um elemento (n possibilidades). Logo, temos que
.
Assim:
. Uma vez que
, então $x_{n}=n!.
Assim:
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações de
elementos distintos. O conteúdo envolve princípio fundamental da contagem e recorrência. Vamos definir uma sequência
que conte essas permutações e montar uma relação entre
e
.
Passo 2
Seja
o número de permutações de
elementos distintos. Para cada permutação de
elementos há exatamente
posições onde inserir o novo elemento, portanto a recorrência é
Passo 3
Vamos expandir a recorrência até chegar na condição inicial:
Passo 4
Sabemos que
(há exatamente uma permutação de um único elemento). Substituindo, obtemos