[01] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Sejam
uma função de classe
e
um subconjunto não-vazio de
. Se
não possui pontos críticos em
, então
não possui extremos locais em
.
(b) Sejam
uma função de classe
e
um subconjunto aberto e não-vazio de
. Se
não possui pontos críticos em
, então
não possui extremos locais em
.
(c) Sejam
uma função de classe
e
um subconjunto não-vazio de
. Se
não possui pontos críticos em
, então
não possui extremos globais em
.
(d) Sejam
uma função de classe
e
um subconjunto aberto e não-vazio de
. Se
não possui pontos críticos em
, então
não possui extremos globais em
.
(a) Sejam
(b) Sejam
(c) Sejam
(d) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre uma função
de classe
definida em um conjunto
, relacionando a existência de pontos críticos (onde
) com extremos locais e globais, em
aberto ou não. Vamos usar o Teorema de Fermat (se
tem extremo local em ponto interior, então
) e contra-exemplos simples quando
não é aberto.
Passo 2
(a) Afirmativa: “Se
não é necessariamente aberto e
não tem pontos críticos em
, então
não tem extremos locais em
.”
Contra-exemplo: considere dada por
e
. Então
Contra-exemplo: considere
logo não há pontos críticos em
. Mas em
temos um mínimo local relativo, pois para todo
com
pequeno,
. Portanto (a) é falsa.
Passo 3
(b) Afirmativa: “Se
é aberto e
não tem pontos críticos em
, então
não tem extremos locais em
.”
Justificativa: pelo Teorema de Fermat, se é ponto de máximo ou mínimo local, então necessariamente
Justificativa: pelo Teorema de Fermat, se
Como não há
em
com
, não pode haver extremos locais. Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Afirmativa: “Se
não é necessariamente aberto e
não tem pontos críticos em
, então
não tem extremos globais em
.”
Contra-exemplo: de novo em
. Não há pontos críticos, mas
é ponto de máximo global em
. Logo (c) é falsa.
Contra-exemplo: de novo
Passo 5
(d) Afirmativa: “Se
é aberto e
não tem pontos críticos em
, então
não tem extremos globais em
.”
Se tivesse um extremo global em
, então
seria também extremo local em
, obrigando
por Fermat. Como isto não ocorre, não há extremo global em
. Portanto (d) é verdadeira.
Se
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira