[01] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Sejam f: R^n R uma função de classe C^infty e D um subconjunto não-vazio de R^n. Se f não possui pontos críticos em D, então f não possui extremos locais em D.
(b) Sejam f: R^n R uma função de classe C^infty e D um subconjunto aberto e não-vazio de R^n. Se f não possui pontos críticos em D, então f não possui extremos locais em D.
(c) Sejam f: R^n R uma função de classe C^infty e D um subconjunto não-vazio de R^n. Se f não possui pontos críticos em D, então f não possui extremos globais em D.
(d) Sejam f: R^n R uma função de classe C^infty e D um subconjunto aberto e não-vazio de R^n. Se f não possui pontos críticos em D, então f não possui extremos globais em D.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre uma função fcolonR^ntoR de classe C^infty definida em um conjunto D, relacionando a existência de pontos críticos (onde nabla f=0) com extremos locais e globais, em D aberto ou não. Vamos usar o Teorema de Fermat (se f tem extremo local em ponto interior, então nabla f=0) e contra-exemplos simples quando D não é aberto.

Passo 2

(a) Afirmativa: “Se D não é necessariamente aberto e f não tem pontos críticos em D, então f não tem extremos locais em D.”
Contra-exemplo: considere fcolonRtoR dada por f(x)=x e D=[0,1]. Então
f'(x)=1neq0forall xin[0,1],
logo não há pontos críticos em D. Mas em x=0 temos um mínimo local relativo, pois para todo xin Dcap(-varepsilon,varepsilon) com varepsilon>0 pequeno, f(x)>= f(0)=0. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

(b) Afirmativa: “Se D é aberto e f não tem pontos críticos em D, então f não tem extremos locais em D.”
Justificativa: pelo Teorema de Fermat, se x0in D é ponto de máximo ou mínimo local, então necessariamente
nabla f(x0)=0
Como não há x0 em D com nabla f(x0)=0, não pode haver extremos locais. Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Afirmativa: “Se D não é necessariamente aberto e f não tem pontos críticos em D, então f não tem extremos globais em D.”
Contra-exemplo: de novo f(x)=x em D=[0,1]. Não há pontos críticos, mas x=1 é ponto de máximo global em D. Logo (c) é falsa.

Passo 5

(d) Afirmativa: “Se D é aberto e f não tem pontos críticos em D, então f não tem extremos globais em D.”
Se f tivesse um extremo global em x0in D, então x0 seria também extremo local em D, obrigando nabla f(x0)=0 por Fermat. Como isto não ocorre, não há extremo global em D. Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira