Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O ortocentro é um ponto interno.

Passo 1

O enunciado pergunta em que caso o ortocentro de um triângulo fica dentro dele. O conteúdo envolve o conceito de ortocentro, que é o ponto de interseção das alturas de um triângulo, e sua posição relativa ao tipo de triângulo (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).

Passo 2

Definimos o ortocentro como o ponto onde se encontram as três retas que passam pelos vértices e são perpendiculares ao lado oposto (as alturas). A posição desse ponto depende da abertura dos ângulos internos do triângulo.

Passo 3

Em detalhe:
  • Se o triângulo for acutângulo, todos os ângulos satisfazem , , . Nesse caso cada altura cai no interior do triângulo, então o ortocentro é um ponto interno.
  • Se o triângulo for retângulo, um dos ângulos vale exatamente . As altitudes dos vértices agudos coincidem com os próprios catetos, e a altura traçada do vértice de é um dos lados, de modo que o ortocentro fica exatamente no vértice do ângulo reto (sobre a fronteira do triângulo).
  • Se o triângulo for obtusângulo, um ângulo excede . Duas alturas caem fora do triângulo para se tornarem perpendiculares aos lados prolongados, e o ortocentro fica fora do triângulo.

Passo 4

Como somente no caso acutângulo todas as alturas se intersectam dentro da região triangular, concluímos que o ortocentro é interno se e somente se o triângulo for acutângulo.

Resposta

O ortocentro é um ponto interno exatamente no triângulo acutângulo.