Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O ortocentro é um ponto interno.
O ortocentro é um ponto interno.
Passo 1
O enunciado pergunta em que caso o ortocentro de um triângulo fica dentro dele. O conteúdo envolve o conceito de ortocentro, que é o ponto de interseção das alturas de um triângulo, e sua posição relativa ao tipo de triângulo (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).
Passo 2
Definimos o ortocentro como o ponto onde se encontram as três retas que passam pelos vértices e são perpendiculares ao lado oposto (as alturas). A posição desse ponto depende da abertura dos ângulos internos do triângulo.
Passo 3
Em detalhe:
- Se o triângulo for acutângulo, todos os ângulos
satisfazem , , . Nesse caso cada altura cai no interior do triângulo, então o ortocentro é um ponto interno. - Se o triângulo for retângulo, um dos ângulos vale exatamente
. As altitudes dos vértices agudos coincidem com os próprios catetos, e a altura traçada do vértice de é um dos lados, de modo que o ortocentro fica exatamente no vértice do ângulo reto (sobre a fronteira do triângulo). - Se o triângulo for obtusângulo, um ângulo excede
. Duas alturas caem fora do triângulo para se tornarem perpendiculares aos lados prolongados, e o ortocentro fica fora do triângulo.
Passo 4
Como somente no caso acutângulo todas as alturas se intersectam dentro da região triangular, concluímos que o ortocentro é interno se e somente se o triângulo for acutângulo.
Resposta
O ortocentro é um ponto interno exatamente no triângulo acutângulo.