Distância mínima até o sol Deduza da equação de órbita
que um planeta está mais próximo do seu Sol quando
e mostre que
nesse instante.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de órbita de um planeta em torno do Sol
onde
é a excentricidade (
) e
é uma constante. Queremos mostrar que a distância
é mínima quando
e que, nesse ponto,
. Para isso, vamos usar o método de extremos de uma função, isto é, calcular
, achar os pontos críticos e determinar qual deles dá o mínimo.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Como
aplicamos a regra da cadeia e a derivada de
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, fazemos
. Como
é não nulo e o denominador
também nunca zera para
, resta
Passo 4
Precisamos ver qual desses valores dá a distância mínima. Avaliando
em cada ponto:
Como
, concluímos que em
a distância é maior, e em
a distância atinge seu valor mínimo.
Passo 5
Portanto, o planeta está mais próximo do Sol quando
, e nesse instante
Resposta
O mínimo de
ocorre em
e vale
.