Distância mínima até o sol Deduza da equação de órbita
r=\frac{(1+e) r_{0}}{1+e \cos \theta}
que um planeta está mais próximo do seu Sol quando \theta=0 e mostre que r=r_{0} nesse instante.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de órbita de um planeta em torno do Sol
r(\theta) \;=\;\frac{(1+e)\,r_{0}}{1 + e \cos \theta}
onde e é a excentricidade ( 0\le e<1) e r_{0} é uma constante. Queremos mostrar que a distância r é mínima quando \theta=0 e que, nesse ponto, r=r_{0}. Para isso, vamos usar o método de extremos de uma função, isto é, calcular \tfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}, achar os pontos críticos e determinar qual deles dá o mínimo.

Passo 2

Calcular a derivada de r(\theta). Como
r(\theta)= (1+e)\,r_{0}\;\bigl[1 + e\cos\theta\bigr]^{-1},
aplicamos a regra da cadeia e a derivada de \cos\theta:
\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = (1+e)\,r_{0}\;(-1)\,\bigl[1+e\cos\theta\bigr]^{-2}\;\bigl(-e\sin\theta\bigr) = \frac{(1+e)\,e\,r_{0}\,\sin\theta}{\bigl(1+e\cos\theta\bigr)^{2}}\,.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, fazemos \tfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=0. Como (1+e)\,e\,r_{0} é não nulo e o denominador \bigl(1+e\cos\theta\bigr)^{2} também nunca zera para 0\le e<1, resta
\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 0 \quad\text{ou}\quad \theta = \pi\,.

Passo 4

Precisamos ver qual desses valores dá a distância mínima. Avaliando r(\theta) em cada ponto:
r(0) = \frac{(1+e)\,r_{0}}{1 + e\cos 0} = \frac{(1+e)\,r_{0}}{1 + e} = r_{0}\,,
r(\pi) = \frac{(1+e)\,r_{0}}{1 + e\cos \pi} = \frac{(1+e)\,r_{0}}{1 - e} = r_{0}\,\frac{1+e}{1-e} > r_{0}.
Como \frac{1+e}{1-e}>1, concluímos que em \theta=\pi a distância é maior, e em \theta=0 a distância atinge seu valor mínimo.

Passo 5

Portanto, o planeta está mais próximo do Sol quando \theta=0, e nesse instante
r_{\min} = r(0) = r_{0}\,.

Resposta

O mínimo de r ocorre em \theta=0 e vale r_{0}.