O que é o divergente de um campo vetorial? Como se pode interpretá-lo?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o divergente de um campo vetorial e como interpretá-lo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, em particular a definição de divergente e sua interpretação física como medida de “fluxo que entra ou sai” de um ponto.

Passo 2

Definimos o divergente de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) como o limite do fluxo líquido de \mathbf{F} através da superfície fechada de um volume V, dividido pelo volume, quando V tende a zero:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\lim_{V\to 0}\frac{1}{\lvert V\rvert} \oint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
Em coordenadas cartesianas, esse limite corresponde à soma das derivadas parciais de cada componente:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Ou seja, calculamos como se cada componente “variasse” em sua direção.

Passo 3

Físicamente, \nabla\cdot\mathbf{F} mede a taxa de expansão ou compressão local do campo. Se \nabla\cdot\mathbf{F}>0 num ponto, esse ponto age como fonte (mais fluido ou campo saindo do que entrando). Se \nabla\cdot\mathbf{F}<0, age como sumidouro (mais fluido entrando).
Em mecânica de fluidos, por exemplo, \mathbf{F} pode ser o vetor velocidade \mathbf{v}. Então \nabla\cdot\mathbf{v} é a razão de variação volumétrica do fluido: fluxo divergente indica dilatação local e fluxo convergente indica contração local.

Resposta

O divergente de um campo vetorial \mathbf{F} é a função escalar
\nabla\cdot\mathbf{F} =\lim_{V\to 0}\frac{1}{\lvert V\rvert} \oint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z},
que, em cada ponto, indica a taxa líquida de “saída” (fonte) ou “entrada” (sumidouro) de \mathbf{F}.