Elabore os detalhes do cálculo que leva ao laplaciano em coordenadas polares.

Passo 1

Estamos querendo escrever o laplaciano
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
em coordenadas polares (r,\theta), onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
Vamos usar cálculo multivariado e regra da cadeia para reescrever as derivadas em x e y em derivadas em r e \theta.

Passo 2

Obtemos, pela regra da cadeia, as relações inversas:
\frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta\,\frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\,\frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta\,\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\,\frac{\partial}{\partial \theta}.
Logo, para qualquer função f(r,\theta),
f_x = \cos\theta\,f_r - \frac{\sin\theta}{r}\,f_\theta, \quad f_y = \sin\theta\,f_r + \frac{\cos\theta}{r}\,f_\theta.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada em x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\biggl(\cos\theta\,f_r - \frac{\sin\theta}{r}\,f_\theta\biggr) = \Bigl(\cos\theta\,\partial_r - \tfrac{\sin\theta}{r}\,\partial_\theta\Bigr) \Bigl(\cos\theta\,f_r - \tfrac{\sin\theta}{r}\,f_\theta\Bigr).
Ao expandir e recolher termos, surge
f_{xx} = \cos^2\theta\,f_{rr} -2\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\,f_{r\theta} +\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,f_{\theta\theta} -\frac{\cos^2\theta}{r}\,f_r +\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\,f_\theta.

Passo 4

Analogamente, para a segunda derivada em y temos
f_{yy} = \Bigl(\sin\theta\,\partial_r + \tfrac{\cos\theta}{r}\,\partial_\theta\Bigr) \Bigl(\sin\theta\,f_r + \tfrac{\cos\theta}{r}\,f_\theta\Bigr),
cuja expansão dá
f_{yy} = \sin^2\theta\,f_{rr} +2\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}\,f_{r\theta} +\frac{\cos^2\theta}{r^2}\,f_{\theta\theta} -\frac{\sin^2\theta}{r}\,f_r -\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^2}\,f_\theta.

Passo 5

Somando f_{xx}+f_{yy}, os termos mistos em f_{r\theta} se cancelam e \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Também os termos em f_\theta se anulam. Fica então
\Delta f = f_{xx}+f_{yy} = f_{rr} +\frac{1}{r}\,f_{r} +\frac{1}{r^2}\,f_{\theta\theta}.

Resposta

\boxed{\Delta f = f_{rr} + \frac{1}{r}\,f_{r} + \frac{1}{r^2}\,f_{\theta\theta}.}