Elabore os detalhes do cálculo que leva ao laplaciano em coordenadas polares.
Passo 1
Estamos querendo escrever o laplaciano
em coordenadas polares
, onde
Vamos usar cálculo multivariado e regra da cadeia para reescrever as derivadas em
e
em derivadas em
e
.
Passo 2
Obtemos, pela regra da cadeia, as relações inversas:
Logo, para qualquer função
,
Passo 3
Calculamos a segunda derivada em
:
Ao expandir e recolher termos, surge
Passo 4
Analogamente, para a segunda derivada em
temos
cuja expansão dá
Passo 5
Somando
, os termos mistos em
se cancelam e
. Também os termos em
se anulam. Fica então