20.1 Encontre o domínio e a imagem das funções seno e cosseno.
Para qualquer número real t, um único ponto P(t)=(x, y) no círculo unitário x^2+y^2=1 é associado a t. Como sen t=y e cos t=x são definidos para todo t, o domínio das funções seno e cosseno é R. Uma vez que y e x são coordenadas de pontos do círculo unitário, -1 <= y <= 1 e-1 <= x <= 1, logo a imagem das funções seno e cosseno é dada por -1 <= sen t <= 1 e -1 <= cos t <= 1, ou seja, [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem das funções sen t e cos t. Vamos usar a definição dessas funções pelo círculo unitário, em que a cada tinR corresponde um ponto P(t)=(x,y) tal que x^2+y^2=1, com sen t=y e cos t=x.

Passo 2

Como a associação tmapsto P(t) está definida para todo número real t, concluímos que o domínio de ambas as funções é
R

Passo 3

No círculo unitário temos
x^2+y^2=1
e, em particular, as coordenadas x e y satisfazem
-1<= x<= 1 e -1<= y<= 1
Como cos t=x e sen t=y, segue que os valores de seno e cosseno variam exatamente entre -1 e 1.

Resposta

Domínio de sen t e cos t: R.
Imagem de sen t e cos t: [-1,1].