Encontre e esboce o potencial. Obtenha o potencial complexo:
Entre duas placas paralelas em x=-3 e 3 , com potenciais de 140 V e 260 V , respectivamente

Passo 1

O enunciado descreve duas placas paralelas infinitas localizadas em x=-3 e x=3, mantidas nos potenciais \Phi(-3)=140\text{ V} e \Phi(3)=260\text{ V}. Como não há variação em y nem em z, o problema é unidimensional e o potencial no domínio entre as placas satisfaz a equação de Laplace em 1D:
\frac{d^2\Phi}{dx^2}=0.

Passo 2

A solução geral de \tfrac{d^2\Phi}{dx^2}=0 é uma função afim em x. Logo, proponho
\Phi(x)=A + B\,x,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

Impondo as condições de contorno:
\begin{cases} \Phi(-3)=A + B(-3)=140,\\\ \Phi(3)=A + B(3)=260. \end{cases}
Subtraindo as duas equações,
(A+3B)-(A-3B)=260-140 \quad\Longrightarrow\quad 6B=120 \quad\Longrightarrow\quad B=20.
Em seguida, de A-3B=140 vem
A-3\cdot20=140 \quad\Longrightarrow\quad A=200.

Passo 4

Portanto, o potencial no intervalo -3\le x\le3 é
\Phi(x)=200 + 20\,x.
O esboço de \Phi(x) versus x é uma reta que passa por (-3,140) e (3,260), variando linearmente.

Passo 5

Para obter o potencial complexo w(z)=\Phi(x,y)+\iu\,\Psi(x,y), note que \Phi não depende de y. A função analítica mais simples cuja parte real é 200+20x é
w(z)=20\,z + 200,
com z=x+\iu y.
Assim,
\Phi(x,y)=\Re\bigl(w(z)\bigr)=200+20x, \qquad \Psi(x,y)=\Im\bigl(w(z)\bigr)=20\,y.

Resposta

\displaystyle \Phi(x)=200 + 20x, \quad w(z)=20\,z+200.