Encontre as fórmulas para as funções \frac{f}{g} e \frac{g}{f}. Determine o domínio de cada uma delas.
f(x)=\sqrt{ } x+3 ; g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\sqrt{x+3} e g(x)=x^2,
e pede as fórmulas de \frac{f}{g} e \frac{g}{f}, bem como o domínio de cada uma.
Para isso vamos usar que toda raiz quadrada exige radicando não negativo e que em quocientes o denominador não pode ser zero.

Passo 2

A fórmula de \displaystyle\frac{f}{g} é
\frac{f}{g}(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2}.
Para que isso faça sentido precisamos de
  1. x+3\ge0 (para a raiz existir)
  2. x^2\neq0 (para o denominador não se anular)
    Portanto x\ge-3 e x\neq0, e o domínio fica
[-3,0)\,\cup\,(0,\infty).

Passo 3

A fórmula de \displaystyle\frac{g}{f} é
\frac{g}{f}(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x+3}}.
Aqui precisamos de
  1. x+3\ge0 (raiz bem definida)
  2. \sqrt{x+3}\neq0 (denominador não nulo)
    A condição \sqrt{x+3}\neq0 equivale a x+3>0. Logo x>-3, e o domínio é
(-3,\infty).

Resposta

\displaystyle\frac{f}{g}(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2},\quad\text{domínio}=[-3,0)\cup(0,\infty)í
\displaystyle\frac{g}{f}(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x+3}},\quad\text{domínio}=(-3,\infty)í