Encontre uma parametrização da superficie.
Tronco de cone A porção no primeiro octante do cone \sqrt{x^{2}+y^{2}} / 2 entre os planos z=0 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da porção da superfície do cone
z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}
no primeiro octante ( x\ge0, y\ge0, z\ge0), limitada pelos planos z=0 e z=3.
Conteúdo: parametrização de superfícies via coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas tomamos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z.
Na equação do cone temos \displaystyle z = \frac{r}{2}, ou seja
r = 2z.

Passo 3

Para parametrizar eliminamos r em favor de z. Mantemos \theta como parâmetro angular. Assim
x = (2z)\cos\theta,\quad y = (2z)\sin\theta,\quad z = z.

Passo 4

Definimos os parâmetros
0 \le z \le 3, \qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},
para cobrir todo o trecho do cone no primeiro octante, de z=0 até z=3.

Passo 5

A parametrização final é então a aplicação
\mathbf{r}(z,\theta) = \bigl(2z\cos\theta,\;2z\sin\theta,\;z\bigr),
com \,0 \le z \le 3 e \,0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\mathbf{r}(z,\theta) = \bigl(2z\cos\theta,\;2z\sin\theta,\;z\bigr), \quad 0 \le z \le 3, \quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.