Encontre \partial w / \partial r e \partial w / \partial s quando r=\pi e s=0 se w= \operatorname{sen}(2 x-y), x=r+\operatorname{sen} s, y=r s.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais \partial w/\partial r e \partial w/\partial s avaliadas em r=\pi e s=0, sabendo que
w=\sin(2x - y),
x = r + \sin s e
y = rs.
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Pela regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r}, \qquad \frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.
Como
\frac{\partial w}{\partial x} = \cos(2x-y)\cdot2, \quad \frac{\partial w}{\partial y} = \cos(2x-y)\cdot(-1),
basta calcular as derivadas de x e y em seguida.

Passo 3

As derivadas parciais de x e y são
\frac{\partial x}{\partial r}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=\cos s, \quad \frac{\partial y}{\partial r}=s,\quad \frac{\partial y}{\partial s}=r.

Passo 4

Substituindo tudo na regra da cadeia, obtemos
\frac{\partial w}{\partial r} = \cos(2x-y)\bigl(2\cdot1+(-1)\cdot s\bigr) = \cos(2x-y)\,(2 - s),
\frac{\partial w}{\partial s} = \cos(2x-y)\bigl(2\cos s+(-1)\cdot r\bigr) = \cos(2x-y)\,(2\cos s - r).

Passo 5

Em r=\pi e s=0 temos
x = \pi + \sin0 = \pi,\quad y = \pi\cdot0 = 0, \quad 2x - y = 2\pi, \quad \cos(2\pi)=1.
Além disso 2 - s = 2 e 2\cos s - r = 2\cdot1 - \pi = 2 - \pi. Logo
\left.\frac{\partial w}{\partial r}\right|_{(\pi,0)} = 1\cdot2 = 2, \quad \left.\frac{\partial w}{\partial s}\right|_{(\pi,0)} = 1\cdot(2 - \pi) = 2 - \pi.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}=2,\quad \frac{\partial w}{\partial s}=2-\pi.