Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{4}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para
f(x)=\frac{4}{2x+3}
e o intervalo de convergência. Vamos usar a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n,\quad |u|<1.

Passo 2

Fatoramos o denominador para deixar no formato 1+u:
2x+3=3\bigl(1+\tfrac{2}{3}x\bigr)
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f(x)=\frac{4}{3}\,\frac{1}{1+\frac{2}{3}x}.

Passo 3

Pela série geométrica temos, para u=\tfrac{2}{3}x,
\frac{1}{1+\frac{2}{3}x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\tfrac{2}{3}x\Bigr)^n,
válida quando \bigl|\tfrac{2}{3}x\bigr|<1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac{4}{3}, obtemos
f(x) =\frac{4}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n x^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{4\cdot2^n}{3^{\,n+1}}\,x^n.

Passo 5

A condição de convergência é
\Bigl|\tfrac{2}{3}x\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\frac{3}{2}.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{4\cdot2^n}{3^{\,n+1}}\,x^n,
intervalo de convergência: |x|<\tfrac{3}{2}.