Encontre d w / d t em t=1 se w=x e^{y}+y sen z-\cos z, x= 2 \sqrt{t}, y=t-1+\ln t e z=\pi t.

Passo 1

O enunciado pede \dfrac{dw}{dt} em t=1, onde
w = x e^{y} \;+\; y\sin z \;-\;\cos z,
com
x = 2\sqrt{t}, \quad y = t - 1 + \ln t, \quad z = \pi t.
Este é um problema de regra da cadeia para funções de várias variáveis: w(x,y,z) e x(t),y(t),z(t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de w:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{y}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = x e^{y} + \sin z, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = y\cos z + \sin z.

Passo 3

Calcular as derivadas de x,y,z em função de t:
\frac{dx}{dt} = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{\sqrt{t}}, \quad \frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t}, \quad \frac{dz}{dt} = \pi.

Passo 4

Avaliar tudo em t=1:
x(1) = 2\sqrt{1} = 2, \quad y(1) = 1 - 1 + \ln 1 = 0, \quad z(1) = \pi\cdot1 = \pi;
\frac{dx}{dt}\Big|_{1} = 1, \quad \frac{dy}{dt}\Big|_{1} = 1 + 1 = 2, \quad \frac{dz}{dt}\Big|_{1} = \pi.
Também
e^{y(1)} = e^0 = 1, \quad \sin z(1) = \sin\pi = 0, \quad \cos z(1) = \cos\pi = -1.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Em t=1:
\frac{dw}{dt} = \bigl(e^y\bigr)\bigl.\tfrac{dx}{dt}\bigr|_1 + \bigl(xe^y + \sin z\bigr)\bigl.\tfrac{dy}{dt}\bigr|_1 + \bigl(y\cos z + \sin z\bigr)\bigl.\tfrac{dz}{dt}\bigr|_1.
Substituindo os valores:
\frac{dw}{dt}\bigg|_{1} = (1)\cdot(1) + \bigl(2\cdot1 + 0\bigr)\cdot2 + \bigl(0\cdot(-1) + 0\bigr)\cdot\pi = 1 + 4 + 0 = 5.

Resposta

\frac{dw}{dt}\Big|_{t=1} = 5.