Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
-y^2 d x+x(x+y) d y=0 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
-,y^2,dx + x,(x+y),dy = 0
e pede a solução particular que satisfaz y(1)=0.
Este é um caso de equação homogênea, pois tanto M(x,y)=-y^2 quanto N(x,y)=x(x+y) são funções homogêneas de mesmo grau. Vamos usar a substituição
y = v,x, dy = v,dx + x,dv

Passo 2

Escrevendo a equação na forma dydx:
dydx =y^2x(x+y)
Substituindo y=v x e dy/dx = v + x,dv/dx, vem
v + xdvdx =(v x)^2xl(x+v xr) =v^2 x^2x^2(1+v) =v^21+v
Isolando dv/dx:
xdvdx =v^21+v-v =-v1+v,
dvdx =-vx(1+v)

Passo 3

Separamos variáveis em v e x:
1+vv,dv =-dxx
Integramos ambos os lados:
integral!l(1v+1r)dv =-integraldxx ;Longrightarrow; ln|v| + v = -ln|x| + C
Voltando a y por v=y/x:
lnl|yxr| + yx =-ln|x| + C ;Longrightarrow; ln|y| + yx = C'

Passo 4

Para impor a condição y(1)=0 precisaríamos ter
ln|y(1)|, mas isso diverge pois y(1)=0.
Portanto a solução não trivial implícita não atinge a condição inicial. Resta verificar a solução trivial
y(x)equiv 0
Substituindo na equação dydx=0 e no lado direito
tfracy^2x(x+y)=0, vemos que coincide, logo é solução válida.

Resposta

A solução particular que satisfaz y(1)=0 é
y(x) = 0