Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução particular que satisfaz .
Este é um caso de equação homogênea, pois tanto quanto são funções homogêneas de mesmo grau. Vamos usar a substituição
Passo 2
Escrevendo a equação na forma :
Substituindo e , vem
Isolando :
Passo 3
Separamos variáveis em e :
Integramos ambos os lados:
Voltando a por :
Passo 4
Para impor a condição y(1)=0 precisaríamos ter ln|y(1)|, mas isso diverge pois y(1)=0.
Portanto a solução não trivial implícita não atinge a condição inicial. Resta verificar a solução trivial
y(x)equiv 0
Substituindo na equação dydx=0 e no lado direito tfracy^2x(x+y)=0, vemos que coincide, logo é solução válida.
Resposta
A solução particular que satisfaz y(1)=0 é
y(x) = 0
Cálculo - Ernani José Antunes - Equações Diferenciais Ordinárias - 1ª Edição - Capítulo 2.Atividades - Ex. 2.b