Encontre o vértice, o foco, a diretriz e a largura focal da parábola.
x^{2}=6 y

Passo 1

O enunciado dá a parábola
x^2 = 6y
e pede vértice, foco, diretriz e largura focal. Esse é um caso de parábola com eixo vertical, de forma canônica

Passo 2

Na forma canônica de parábola vertical temos
x^2 = 4p\,y.
Comparando com x^2 = 6y, obtemos
4p = 6 \quad\Longrightarrow\quad p = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}.

Passo 3

Para a forma x^2=4p\,y o vértice está em (0,0). Logo
Vértice: (0,0).

Passo 4

O foco de uma parábola x^2=4p\,y fica em
(0,p) = \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 5

A diretriz é a reta
y = -p = -\tfrac{3}{2}.

Passo 6

A largura focal (distância entre os pontos da parábola que ficam na linha que passa pelo foco e é paralela à diretriz) é
|4p| = \bigl|4\cdot\tfrac{3}{2}\bigr| = 6.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr)
Diretriz: y = -\tfrac{3}{2}
Largura focal: 6