Uma equação como
é chamada identidade porque vale para qualquer valor de
. Uma equação como
não é uma identidade porque vale somente para valores selecionados de
, e nāo todos. Se você derivar os dois membros de uma identidade trigonométrica em
relação a
, terá como resultado uma nova equação que também é uma identidade.
Derive as equações a seguir para mostrar que a equação resultante vale para qualquer valor de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade
e pede para derivar ambos os lados em relação a
.
Para isso vamos usar a regra da cadeia (derivada de função composta) e a derivada de potência de função .
Para isso vamos usar a regra da cadeia (derivada de função composta) e a derivada de potência de função
Passo 2
Derivando o primeiro membro
por
e usando a regra da cadeia:
Passo 3
Derivando
por
:
Passo 4
Derivando
por
:
Passo 5
Somando os resultados dos passos 3 e 4:
Como
, temos
Logo a derivada de ambos os lados coincide:
que é uma identidade válida para todo
.