Uma equação como \operatorname{sen}^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1 é chamada identidade porque vale para qualquer valor de \theta. Uma equação como \operatorname{sen} \theta=0,5 não é uma identidade porque vale somente para valores selecionados de \theta, e nāo todos. Se você derivar os dois membros de uma identidade trigonométrica em \theta \mathrm{em} relação a \theta, terá como resultado uma nova equação que também é uma identidade.
Derive as equações a seguir para mostrar que a equação resultante vale para qualquer valor de \theta.
\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{2} \theta

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade
\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta
e pede para derivar ambos os lados em relação a \theta.
Para isso vamos usar a regra da cadeia (derivada de função composta) e a derivada de potência de função \frac{d}{d\theta}[f(\theta)^2]=2f(\theta)\,f'(\theta).

Passo 2

Derivando o primeiro membro \cos2\theta por \theta e usando a regra da cadeia:
\frac{d}{d\theta}\bigl[\cos2\theta\bigr] = -\sin(2\theta)\,\frac{d}{d\theta}(2\theta) = -2\sin(2\theta).

Passo 3

Derivando \cos^2\theta por \theta:
\frac{d}{d\theta}\bigl[\cos^2\theta\bigr] = 2\cos\theta\;\frac{d}{d\theta}[\cos\theta] = 2\cos\theta\;(-\sin\theta) = -2\sin\theta\cos\theta.

Passo 4

Derivando -\sin^2\theta por \theta:
\frac{d}{d\theta}\bigl[-\sin^2\theta\bigr] = -\,2\sin\theta\;\frac{d}{d\theta}[\sin\theta] = -\,2\sin\theta\;\cos\theta = -2\sin\theta\cos\theta.

Passo 5

Somando os resultados dos passos 3 e 4:
\frac{d}{d\theta}\bigl[\cos^2\theta - \sin^2\theta\bigr] = -2\sin\theta\cos\theta \;-\;2\sin\theta\cos\theta = -4\sin\theta\cos\theta.
Como \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, temos
-4\sin\theta\cos\theta = -2\,(2\sin\theta\cos\theta) = -2\sin2\theta.
Logo a derivada de ambos os lados coincide:
\frac{d}{d\theta}[\cos2\theta] = \frac{d}{d\theta}[\cos^2\theta - \sin^2\theta] = -2\sin2\theta,
que é uma identidade válida para todo \theta.

Resposta

-2\sin2\theta = -4\sin\theta\cos\theta.