Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=x^2, y=x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas
y = x^2 e y = x
e calcular a área das regiões que elas delimitam.
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” e vamos precisar:
  1. encontrar os pontos de interseção;
  2. decidir qual função fica por cima na região delimitada;
  3. montar e calcular a integral da diferença.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos as duas curvas:
x^2 = x
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=1, correspondendo aos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Esboço qualitativo:
– A parábola y = x^2 abre para cima, com vértice em (0,0).
– A reta y = x passa pela origem e faz 45^circ com os eixos.
As duas se cruzam em (0,0) e (1,1).
No intervalo 0 < x < 1, tomando x = tfrac12, temos x^2 = tfrac14 e x = tfrac12, ou seja, a reta fica acima da parábola.

Passo 4

A área A da região delimitada é dada por
A = integral0^1 l(underbracexreta ;-;underbracex^2parábolar),dx á

Passo 5

Calculando a integral:
A = integral0^1 l(x - x^2r),dx = l[tfrac12x^2 - tfrac13x^3r]0^1 = l(tfrac12 - tfrac13r) - 0 = tfrac16

Resposta

A área da região limitada por y = x^2 e y = x é tfrac16.