Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, se é limitada, se tem extremos, a simetria, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
f(x)=\log (x-2)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=\log(x-2) e a análise de: domínio, imagem, continuidade, monotonicidade, se é limitada, existência de extremos, simetria, assíntotas e comportamento nos extremos do domínio. Para isso, usaremos as propriedades da função logarítmica natural e seu deslocamento horizontal.

Passo 2

Domínio: precisamos que o argumento do log seja positivo, isto é,
x-2>0 \quad\Longrightarrow\quad x>2.
Logo, o domínio é
(2,\,+\infty).

Passo 3

Imagem: como a função \log u toma todo valor real quando u varia em (0,\infty), temos
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,+\infty).

Passo 4

Continuidade: a função \log é contínua em seu domínio (0,\infty). Como aqui o argumento é x-2, f é contínua em todo o intervalo (2,\infty).

Passo 5

Monotonicidade: derivando,
f'(x)=\frac{1}{x-2}.
Para x>2 temos f'(x)>0, logo f é estritamente crescente em (2,\infty).

Passo 6

Limites e limites de f nos extremos do domínio:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}\log(x-2)=-\infty,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Portanto, f não é limitada superior nem inferior. Como o domínio é aberto e não há pontos críticos com muda de sinal em f', não há extremos relativos nem absolutos.

Passo 7

Simetria: não se verifica f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x), além de o domínio não ser simétrico em torno de nenhum ponto. Assim, f não é par nem ímpar.

Passo 8

Assíntotas:
– Vertical em x=2, pois
\lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty.
– Não há assíntota horizontal nem oblíqua, pois \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)/x=0 (crescimento sublinear).

Passo 9

Esboço do gráfico e ponto de referência: o gráfico é igual ao de y=\log x deslocado 2 unidades à direita. Intercepta o eixo x em f(3)=\log1=0 e cresce lentamente para +\infty. Tem assíntota vertical em x=2.

Resposta

Domínio: (2,\infty)
Imagem: \mathbb{R}
Continuidade: contínua em (2,\infty)
Crescimento: estritamente crescente
Limitada: não é limitada
Extremos: não há extremos
Simetria: não é par nem ímpar
Assíntotas: vertical em x=2
Comportamento nos extremos:
\lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Gráfico: curva de \log x deslocada 2 unidades para a direita, passando por (3,0).