Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, se é limitada, se tem extremos, a simetria, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
e a análise de: domínio, imagem, continuidade, monotonicidade, se é limitada, existência de extremos, simetria, assíntotas e comportamento nos extremos do domínio. Para isso, usaremos as propriedades da função logarítmica natural e seu deslocamento horizontal.
Passo 2
Domínio: precisamos que o argumento do log seja positivo, isto é,
Logo, o domínio é
Passo 3
Imagem: como a função
toma todo valor real quando
varia em
, temos
Passo 4
Continuidade: a função
é contínua em seu domínio
. Como aqui o argumento é
,
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 5
Monotonicidade: derivando,
Para
temos
, logo
é estritamente crescente em
.
Passo 6
Limites e limites de
nos extremos do domínio:
Portanto,
não é limitada superior nem inferior. Como o domínio é aberto e não há pontos críticos com muda de sinal em
, não há extremos relativos nem absolutos.
Passo 7
Simetria: não se verifica
nem
, além de o domínio não ser simétrico em torno de nenhum ponto. Assim,
não é par nem ímpar.
Passo 8
Assíntotas:
– Vertical em , pois
– Vertical em
– Não há assíntota horizontal nem oblíqua, pois
e
(crescimento sublinear).
Passo 9
Esboço do gráfico e ponto de referência: o gráfico é igual ao de
deslocado 2 unidades à direita. Intercepta o eixo
em
e cresce lentamente para
. Tem assíntota vertical em
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Continuidade: contínua em
Crescimento: estritamente crescente
Limitada: não é limitada
Extremos: não há extremos
Simetria: não é par nem ímpar
Assíntotas: vertical em
Comportamento nos extremos:
Imagem:
Continuidade: contínua em
Crescimento: estritamente crescente
Limitada: não é limitada
Extremos: não há extremos
Simetria: não é par nem ímpar
Assíntotas: vertical em
Comportamento nos extremos:
Gráfico: curva de
deslocada 2 unidades para a direita, passando por
.