Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, se é limitada, se tem extremos, a simetria, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
f(x)=-\ln (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x) = -\ln(x-1)
e analisar domínio, imagem, continuidade, monotonicidade, se é limitada, existência de extremos, simetria, assíntotas e comportamento nos extremos. Vamos usar conhecimento de logaritmos e transformações de gráficos para cada item.

Passo 2

Para ter \ln(x-1) bem definido precisamos de x-1>0, ou seja x>1. Como a função logarítmica é contínua em (0,\infty) e a transformação x\mapsto x-1 só desloca a reta, concluímos que
Domínio: \{x\mid x>1\}.
f é contínua em todo esse domínio.

Passo 3

Seja t=x-1. Quando t varia em (0,\infty), \ln(t) varia em (-\infty,\infty). Logo -\ln(t) varia em (\infty,-\infty), isto é, toda a reta real.
Imagem: \mathbb R.

Passo 4

Derivando em x>1:
f'(x) = -\frac{1}{x-1}.
Como x-1>0, temos f'(x)<0 em todo o domínio. Portanto f é estritamente decrescente.

Passo 5

Como f decresce sem interrupções e \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty, segue que f é não limitada acima nem abaixo e não possui máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Para verificar simetria testamos f(2-(x-2)) (reflexão em x=2) ou f(-x), mas não surge nenhum centro nem eixo de simetria. Logo não é nem par nem ímpar nem tem simetria sobre reta vertical.

Passo 7

Assíntota vertical: em x=1 temos \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty, logo x=1 é assíntota vertical.
Não há assíntota horizontal nem oblíqua em +\infty, pois f(x)\to -\infty conforme x\to\infty.

Passo 8

Resolvendo f(x)=0 -\ln(x-1)=0\implies x-1=1\implies x=2. Assim f(2)=0.
Comportamento nos extremos do domínio:
– Quando x\to1^+, f(x)\to+\infty.
– Quando x\to\infty, f(x)\to -\infty.

Passo 9

Esboço qualitativo:
O gráfico parte de +\infty logo à direita de x=1, cruza o eixo x em (2,0) e decresce indefinidamente em direção a -\infty conforme x\to\infty. Há uma assíntota vertical em x=1.

Resposta

\bullet Domínio: x>1 \bullet Imagem: \mathbb R \bullet Continuidade: contínua em todo o domínio
\bullet Monotonicidade: estritamente decrescente
\bullet Limitada: não, é não limitada acima nem abaixo
\bullet Extremos: não possui máximos nem mínimos
\bullet Simetria: não é nem par nem ímpar nem simétrica em reta vertical
\bullet Assíntotas: vertical em x=1; não tem horizontal nem oblíqua
\bullet Comportamento:
\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty
\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty \bullet Esboço: parte de +\infty em x\approx1^+, cruza (2,0) e decai para -\infty.