Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, se é limitada, se tem extremos, a simetria, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
e analisar domínio, imagem, continuidade, monotonicidade, se é limitada, existência de extremos, simetria, assíntotas e comportamento nos extremos. Vamos usar conhecimento de logaritmos e transformações de gráficos para cada item.
Passo 2
Para ter
bem definido precisamos de
, ou seja
. Como a função logarítmica é contínua em
e a transformação
só desloca a reta, concluímos que
Domínio: .
f é contínua em todo esse domínio.
Domínio:
f é contínua em todo esse domínio.
Passo 3
Seja
. Quando
varia em
,
varia em
. Logo
varia em
, isto é, toda a reta real.
Imagem: .
Imagem:
Passo 4
Derivando em
:
Como
, temos
em todo o domínio. Portanto
é estritamente decrescente.
Passo 5
Como
decresce sem interrupções e
,
, segue que
é não limitada acima nem abaixo e não possui máximos nem mínimos locais.
Passo 6
Para verificar simetria testamos
(reflexão em
) ou
, mas não surge nenhum centro nem eixo de simetria. Logo não é nem par nem ímpar nem tem simetria sobre reta vertical.
Passo 7
Assíntota vertical: em
temos
, logo
é assíntota vertical.
Não há assíntota horizontal nem oblíqua em , pois
conforme
.
Não há assíntota horizontal nem oblíqua em
Passo 8
Resolvendo
dá
. Assim
.
Comportamento nos extremos do domínio:
– Quando ,
.
– Quando ,
.
Comportamento nos extremos do domínio:
– Quando
– Quando
Passo 9
Esboço qualitativo:
O gráfico parte de logo à direita de
, cruza o eixo
em
e decresce indefinidamente em direção a
conforme
. Há uma assíntota vertical em
.
O gráfico parte de
Resposta
–
–