Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
e analisar domínio, imagem, continuidade, crescimento/decrescimento, assíntotas e comportamento nos extremos. É uma função logarítmica com base
.
Passo 2
Domínio: a expressão dentro do log deve ser positiva,
logo
Imagem: toda reta, pois logaritmos em bases diferentes de
cobrem
.
Passo 3
Troca de base usando log natural:
Como soma e quociente de funções contínuas em
,
é contínua e até derivável em todo o domínio.
Passo 4
Derivada e monotonicidade:
Como
e
, segue
. Portanto,
é estritamente decrescente em
.
Passo 5
Comportamento nos extremos e assíntotas:
- Quando
, e, dividindo por , vem
. Há assíntota vertical em . - Quando
, e assim
. Não há assíntota horizontal finita.
Passo 6
Pontos notáveis para esboço:
-
, ponto . -
, ponto .
O gráfico é uma curva logarítmica estritamente decrescente em, com assíntota vertical , passando por esses pontos.
Resposta
Domínio:
\nImagem:
\nContinuidade: contínua e derivável em
\nMonotonicidade: estritamente decrescente\nAssíntotas: vertical em
\nComportamento nos extremos: \n
quando
, \n
quando
\nEsboço: curva logarítmica decrescente passando por
e
com assíntota vertical.