Esboce o gráfico da função e analise seu domínio, sua imagem, a continuidade, o comportamento de crescimento/decrescimento, as assíntotas e o comportamento nos extremos do domínio.
f(x)=\log _{1 / 3}(9 x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=\log_{1/3}(9x)
e analisar domínio, imagem, continuidade, crescimento/decrescimento, assíntotas e comportamento nos extremos. É uma função logarítmica com base 1/3\in(0,1).

Passo 2

Domínio: a expressão dentro do log deve ser positiva,
9x>0\implies x>0,
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\text{Dom}(f)=(0,+\infty).
Imagem: toda reta, pois logaritmos em bases diferentes de 1 cobrem \mathbb{R}.

Passo 3

Troca de base usando log natural:
f(x)=\frac{\ln(9x)}{\ln(1/3)} =\frac{\ln9+\ln x}{\ln(1/3)}.
Como soma e quociente de funções contínuas em (0,+\infty), f é contínua e até derivável em todo o domínio.

Passo 4

Derivada e monotonicidade:
f'(x) =\frac{1}{x\,\ln(1/3)}.
Como \ln(1/3)<0 e x>0, segue f'(x)<0. Portanto, f é estritamente decrescente em (0,+\infty).

Passo 5

Comportamento nos extremos e assíntotas:
  • Quando x\to0^+, \ln(9x)\to-\infty e, dividindo por \ln(1/3)<0, vem
    \displaystyle f(x)\to+\infty. Há assíntota vertical em x=0.
  • Quando x\to+\infty, \ln(9x)\to+\infty e assim
    \displaystyle f(x)\to-\infty. Não há assíntota horizontal finita.

Passo 6

Pontos notáveis para esboço:
  • f(1/9)=\log_{1/3}(1)=0, ponto \bigl(\tfrac19,0\bigr).
  • f(1)=\log_{1/3}(9)=\dfrac{\ln9}{\ln(1/3)}=-2, ponto (1,-2).
    O gráfico é uma curva logarítmica estritamente decrescente em (0,+\infty), com assíntota vertical x=0, passando por esses pontos.

Resposta

Domínio: (0,+\infty)\nImagem: \mathbb{R}\nContinuidade: contínua e derivável em (0,+\infty)\nMonotonicidade: estritamente decrescente\nAssíntotas: vertical em x=0\nComportamento nos extremos: \n \displaystyle f(x)\to+\infty quando x\to0^+, \n \displaystyle f(x)\to-\infty quando x\to+\infty\nEsboço: curva logarítmica decrescente passando por \bigl(\tfrac19,0\bigr) e (1,-2) com assíntota vertical.