Esboce o gráfico de uma função
definida para todo
tal que
, e
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar qualitativamente o gráfico de uma função
definida em todo o eixo real que satisfaz
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de sinais das derivadas: positividade da função, monotonicidade crescente e concavidade para cima.
Passo 2
Como
para todo
, o gráfico de
nunca toca nem passa abaixo do eixo
. Logo, toda a curva deve ficar acima da reta
.
Como para todo
, a função é estritamente crescente: conforme
aumenta,
também aumenta. Geometricamente, todas as tangentes têm inclinação positiva.
Como para todo
, o gráfico é côncavo para cima em toda parte. Isso significa que a inclinação das tangentes cresce conforme avançamos em
, de modo que a curva “se levanta” cada vez com mais força.
Como
Como
Passo 3
Juntando tudo: trace dois eixos perpendiculares e, acima do eixo
, desenhe uma curva que sobe constantemente com inclinação cada vez maior. Um exemplo típico é a função
, mas qualquer curva convexa crescente serve: começa, say, baixa (sempre positiva) e depois sobe acelerando seu crescimento.
Resposta
Um esboço possível é uma curva acima do eixo
, sempre subindo e ficando cada vez mais inclinada, como o gráfico de
:
- A curva nunca cruza o eixo
. - Sobe monotonamente (não tem máximos nem mínimos locais).
- Seu formato é convexo para cima, com taxa de crescimento que aumenta conforme
cresce.