Esboce o gráfico de uma função f(x) definida para todo x tal que
f(x)>0, f^prime(x)>0, e f^prime prime(x)>0;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar qualitativamente o gráfico de uma função f definida em todo o eixo real que satisfaz
f(x)>0, f'(x)>0, f''(x)>0
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de sinais das derivadas: positividade da função, monotonicidade crescente e concavidade para cima.

Passo 2

Como ,f(x)>0 para todo x, o gráfico de f nunca toca nem passa abaixo do eixo x. Logo, toda a curva deve ficar acima da reta y=0.
Como ,f'(x)>0 para todo x, a função é estritamente crescente: conforme x aumenta, f(x) também aumenta. Geometricamente, todas as tangentes têm inclinação positiva.
Como ,f''(x)>0 para todo x, o gráfico é côncavo para cima em toda parte. Isso significa que a inclinação das tangentes cresce conforme avançamos em x, de modo que a curva “se levanta” cada vez com mais força.

Passo 3

Juntando tudo: trace dois eixos perpendiculares e, acima do eixo x, desenhe uma curva que sobe constantemente com inclinação cada vez maior. Um exemplo típico é a função f(x)=e^x, mas qualquer curva convexa crescente serve: começa, say, baixa (sempre positiva) e depois sobe acelerando seu crescimento.

Resposta

Um esboço possível é uma curva acima do eixo x, sempre subindo e ficando cada vez mais inclinada, como o gráfico de y=e^x:
  1. A curva nunca cruza o eixo x.
  2. Sobe monotonamente (não tem máximos nem mínimos locais).
  3. Seu formato é convexo para cima, com taxa de crescimento que aumenta conforme x cresce.