(Escola Naval-92) O sistema de equações: \left\{\begin{array}{l}x-y+k z=1 \\\ k x+z=0 \\\ x+y+z=-1\end{array}\right.
a) é sempre possível
b) é impossivel para k=1
c) é impossivel para k=-2
d) é determinado para k \neq 1
e) é determinado para k \neq 2
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações lineares em x,y,z\) com parâmetro \(k\):
\[\begin{cases} x - y + k\,z = 1,\\\ k\,x + z = 0,\\\ x + y + z = -1.
Queremos saber para quais valores de (k] o sistema é impossível, tem solução única (determinado) ou tem solução (possível).
Passo 2
Escrevendo na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, temos
Se (k+2)(k-1)\neq0, isto é k\neq-2 e k\neq1, então \det A\neq0 e o sistema é determinado (solução única).
Se \det A=0, ou seja para k=1 ou k=-2, o sistema é singular. Nesses casos, substituindo em cada valor observa-se que as três equações ficam compatíveis (não há contradição), logo há infinitas soluções.
Em nenhum caso o sistema fica impossível.
Resposta
a) é sempre possível
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 1