(Escola Naval-92) O sistema de equações: \left\{\begin{array}{l}x-y+k z=1 \\\ k x+z=0 \\\ x+y+z=-1\end{array}\right.
a) é sempre possível
b) é impossivel para k=1
c) é impossivel para k=-2
d) é determinado para k \neq 1
e) é determinado para k \neq 2

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações lineares em x,y,z\) com parâmetro \(k\): \[\begin{cases} x - y + k\,z = 1,\\\ k\,x + z = 0,\\\ x + y + z = -1.
Queremos saber para quais valores de (k] o sistema é impossível, tem solução única (determinado) ou tem solução (possível).

Passo 2

Escrevendo na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k\\\ k & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Para existência e unicidade de solução, calculamos o determinante \det A.

Passo 3

Calculando \det A por cofactores na primeira linha:
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&1\end{pmatrix} + k\cdot\det\begin{pmatrix}k&0\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Isso dá
\det A = 1\,(0\cdot1 - 1\cdot1) +1\,(k\cdot1 - 1\cdot1) + k\,(k\cdot1 - 0\cdot1) = -1 + (k-1) + k^2 = k^2 + k - 2 = (k+2)(k-1).

Passo 4

  • Se (k+2)(k-1)\neq0, isto é k\neq-2 e k\neq1, então \det A\neq0 e o sistema é determinado (solução única).
  • Se \det A=0, ou seja para k=1 ou k=-2, o sistema é singular. Nesses casos, substituindo em cada valor observa-se que as três equações ficam compatíveis (não há contradição), logo há infinitas soluções.
Em nenhum caso o sistema fica impossível.

Resposta

a) é sempre possível