Escreva as regras para derivação e integração de funções vetoriais. Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede as regras de derivação e de integração de funções vetoriais e exemplos. O conteúdo envolve entender que, para uma função vetorial
\mathbf{r}(t) = \big\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\big\rangle,
as operações se fazem componente a componente, e também existem regras para produtos escalares, vetoriais e composição.

Passo 2

Definimos a derivada de \mathbf{r}(t) como
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \big\langle x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\big\rangle.
Dessa definição extraem-se as regras lineares:
  1. Regra da soma: \displaystyle \frac{d}{dt}\big[\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}(t)\big]=\mathbf{u}'(t)+\mathbf{v}'(t).
  2. Regra do fator constante: \displaystyle \frac{d}{dt}\big[c\,\mathbf{u}(t)\big]=c\,\mathbf{u}'(t), com c constante.
  3. Regra do produto escalar: \displaystyle \frac{d}{dt}\big[\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)\big]=\mathbf{u}'(t)\cdot\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}'(t).
  4. Regra do produto vetorial: \displaystyle \frac{d}{dt}\big[\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}(t)\big]=\mathbf{u}'(t)\times\mathbf{v}(t)+\mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}'(t).
  5. Regra da cadeia: se \mathbf{u}(t)=\mathbf{v}\big(f(t)\big), então \mathbf{u}'(t)=\mathbf{v}'\big(f(t)\big)\,f'(t).

Passo 3

Exemplo de derivação: seja
\mathbf{r}(t)=\big\langle t^2\,,\,\sin t\,,\,e^{3t}\big\rangle.
Aplicando componente a componente,
\mathbf{r}'(t)=\big\langle 2t\,,\,\cos t\,,\,3e^{3t}\big\rangle.
Se quisermos a derivada de \mathbf{u}(t)=t\,\mathbf{r}(t), usamos produto por escalar:
\mathbf{u}'(t)=1\cdot\mathbf{r}(t)+t\cdot\mathbf{r}'(t) =\big\langle t^2,\sin t,e^{3t}\big\rangle +t\big\langle 2t,\cos t,3e^{3t}\big\rangle.

Passo 4

Para integrais, define-se a integral indefinida de \mathbf{r}(t) por
\int \mathbf{r}(t)\,dt =\big\langle \int x(t)\,dt,\;\int y(t)\,dt,\;\int z(t)\,dt\big\rangle + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é vetor constante. As regras são análogas:
  1. \displaystyle \int\big[\mathbf{u}(t)+\mathbf{v}(t)\big]dt =\int\mathbf{u}(t)\,dt+\int\mathbf{v}(t)\,dt.
  2. \displaystyle \int c\,\mathbf{u}(t)\,dt =c\int\mathbf{u}(t)\,dt.
  3. Para produtos escalar ou vetorial, não há regra direta de “integração por partes vetorial” além de aplicar a componente a componente ou recorrer à fórmula da parte real em cada componente.

Passo 5

Exemplo de integração: seja
\mathbf{r}(t)=\big\langle 3t^2\,,\,\cos t\,,\,e^{2t}\big\rangle.
Então
\int \mathbf{r}(t)\,dt =\big\langle \int 3t^2\,dt,\;\int \cos t\,dt,\;\int e^{2t}\,dt\big\rangle + \mathbf{C} =\big\langle t^3,\;\sin t,\;\tfrac12e^{2t}\big\rangle + \mathbf{C}.

Resposta

Derivação de \mathbf{r}(t)=\langle x,y,z\rangle:
\mathbf{r}'(t)=\langle x',y',z'\rangle
Regras lineares, produto escalar, vetorial e cadeia conforme o passo 2.
Integração de \mathbf{r}(t)=\langle x,y,z\rangle:
\int \mathbf{r}(t)\,dt =\langle \int x\,dt,\int y\,dt,\int z\,dt\rangle+\mathbf{C},
com as regras lineares do passo 4.
Exemplos estão nos passos 3 e 5.