Escreva as regras para derivação e integração de funções vetoriais. Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede as regras de derivação e de integração de funções vetoriais e exemplos. O conteúdo envolve entender que, para uma função vetorial
as operações se fazem componente a componente, e também existem regras para produtos escalares, vetoriais e composição.
Passo 2
Definimos a derivada de
como
Dessa definição extraem-se as regras lineares:
- Regra da soma:
. - Regra do fator constante:
, com constante. - Regra do produto escalar:
. - Regra do produto vetorial:
. - Regra da cadeia: se
, então .
Passo 3
Exemplo de derivação: seja
Aplicando componente a componente,
Se quisermos a derivada de
, usamos produto por escalar:
Passo 4
Para integrais, define-se a integral indefinida de
por
onde
é vetor constante. As regras são análogas:
-
-
- Para produtos escalar ou vetorial, não há regra direta de “integração por partes vetorial” além de aplicar a componente a componente ou recorrer à fórmula da parte real em cada componente.
Passo 5
Exemplo de integração: seja
Então
Resposta
Derivação de
:
Regras lineares, produto escalar, vetorial e cadeia conforme o passo 2.
Integração de
:
com as regras lineares do passo 4.
Exemplos estão nos passos 3 e 5.